Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9203 / 9196
↖ ↑ ↗
← S 21.534847°
E 22.214355°		 ← 2 272.72 m → S 21.534847°
E 22.236328°		 →
↑
2 272.54 m
↓
↑
2 272.54 m
↓
S 21.555284°
E 22.214355°		 ← 2 272.40 m →
5 164 483 m²		 S 21.555284°
E 22.236328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9203 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9196 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.561737060546875 y=0.561309814453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.561737060546875 × 214)
    floor (0.561737060546875 × 16384)
    floor (9203.5)     		tx = 9203
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.561309814453125 × 214)
    floor (0.561309814453125 × 16384)
    floor (9196.5)     		ty = 9196
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9203 / 9196 ti = "14/9203/9196"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9203/9196.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9203 ÷ 214
    9203 ÷ 16384     		x = 0.56170654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9196 ÷ 214
    9196 ÷ 16384     		y = 0.561279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56170654296875 × 2 - 1) × π
    0.1234130859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.38771364
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.561279296875 × 2 - 1) × π
    -0.12255859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.385029177748291
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38771364} λ = 0.38771364}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.385029177748291))-π/2
    2×atan(0.680430782476845)-π/2
    2×0.597471171353076-π/2
    1.19494234270615-1.57079632675     		φ = -0.37585398
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38771364} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.214355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.37585398 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.534847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9203 KachelY 9196 0.38771364 -0.37585398 22.214355 -21.534847
    Oben rechts KachelX + 1 9204 KachelY 9196 0.38809714 -0.37585398 22.236328 -21.534847
    Unten links KachelX 9203 KachelY + 1 9197 0.38771364 -0.37621068 22.214355 -21.555284
    Unten rechts KachelX + 1 9204 KachelY + 1 9197 0.38809714 -0.37621068 22.236328 -21.555284
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.37585398--0.37621068) × R
    0.000356700000000043 × 6371000     		dl = 2272.53570000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.37585398--0.37621068) × R
    0.000356700000000043 × 6371000     		dr = 2272.53570000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38771364-0.38809714) × cos(-0.37585398) × R
    0.000383499999999981 × 0.930194493234809 × 6371000     		do = 2272.72420613889m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38771364-0.38809714) × cos(-0.37621068) × R
    0.000383499999999981 × 0.93006350125127 × 6371000     		du = 2272.40415624184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.37585398)-sin(-0.37621068))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930194493234809-0.93006350125127)×R²
    abs(0.38809714-0.38771364)×0.00013099198353872×R²
    0.000383499999999981×0.00013099198353872×6371000²
    0.000383499999999981×0.00013099198353872×40589641000000     		ar = 5164483.28705502m²