Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9200 / 11311
↖ ↑ ↗
← N 75.432361°
W129.462891°		 ← 153.63 m → N 75.432361°
W129.457398°		 →
↑
153.67 m
↓
↑
153.67 m
↓
N 75.430979°
W129.462891°		 ← 153.64 m →
23 609 m²		 N 75.430979°
W129.457398°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11311 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.140388488769531 y=0.172599792480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.140388488769531 × 216)
    floor (0.140388488769531 × 65536)
    floor (9200.5)     		tx = 9200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.172599792480469 × 216)
    floor (0.172599792480469 × 65536)
    floor (11311.5)     		ty = 11311
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9200 / 11311 ti = "16/9200/11311"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9200/11311.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9200 ÷ 216
    9200 ÷ 65536     		x = 0.140380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11311 ÷ 216
    11311 ÷ 65536     		y = 0.172592163085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.140380859375 × 2 - 1) × π
    -0.71923828125 × 3.1415926535     		Λ = -2.25955370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.172592163085938 × 2 - 1) × π
    0.654815673828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.05716411029509
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25955370} λ = -2.25955370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05716411029509))-π/2
    2×atan(7.82375102521109)-π/2
    2×1.44366969361403-π/2
    2.88733938722806-1.57079632675     		φ = 1.31654306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25955370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.462891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31654306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.432361°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9200 KachelY 11311 -2.25955370 1.31654306 -129.462891 75.432361
    Oben rechts KachelX + 1 9201 KachelY 11311 -2.25945783 1.31654306 -129.457398 75.432361
    Unten links KachelX 9200 KachelY + 1 11312 -2.25955370 1.31651894 -129.462891 75.430979
    Unten rechts KachelX + 1 9201 KachelY + 1 11312 -2.25945783 1.31651894 -129.457398 75.430979
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31654306-1.31651894) × R
    2.41200000001829e-05 × 6371000     		dl = 153.668520001165m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31654306-1.31651894) × R
    2.41200000001829e-05 × 6371000     		dr = 153.668520001165m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25955370--2.25945783) × cos(1.31654306) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.251522752059943 × 6371000     		do = 153.627020834952m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25955370--2.25945783) × cos(1.31651894) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.251546096562204 × 6371000     		du = 153.64127937143m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31654306)-sin(1.31651894))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.251522752059943-0.251546096562204)×R²
    abs(-2.25945783--2.25955370)×2.33445022611578e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.33445022611578e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.33445022611578e-05×40589641000000     		ar = 23608.7324690174m²