Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 920 / 936
↖ ↑ ↗
← S 81.518272°
E143.437500°		 ← 5 765.83 m → S 81.518272°
E143.789063°		 →
↑
5 748.43 m
↓
↑
5 748.43 m
↓
S 81.569968°
E143.437500°		 ← 5 730.94 m →
33 044 159 m²		 S 81.569968°
E143.789063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 920 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 936 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.89892578125 y=0.91455078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.89892578125 × 210)
    floor (0.89892578125 × 1024)
    floor (920.5)     		tx = 920
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.91455078125 × 210)
    floor (0.91455078125 × 1024)
    floor (936.5)     		ty = 936
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 920 / 936 ti = "10/920/936"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/920/936.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 920 ÷ 210
    920 ÷ 1024     		x = 0.8984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 936 ÷ 210
    936 ÷ 1024     		y = 0.9140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8984375 × 2 - 1) × π
    0.796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.50345665
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9140625 × 2 - 1) × π
    -0.828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.60163141617969
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.50345665} λ = 2.50345665}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60163141617969))-π/2
    2×atan(0.0741525058836444)-π/2
    2×0.0740170410122265-π/2
    0.148034082024453-1.57079632675     		φ = -1.42276224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.50345665} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 143.437500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42276224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.518272°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 920 KachelY 936 2.50345665 -1.42276224 143.437500 -81.518272
    Oben rechts KachelX + 1 921 KachelY 936 2.50959257 -1.42276224 143.789063 -81.518272
    Unten links KachelX 920 KachelY + 1 937 2.50345665 -1.42366452 143.437500 -81.569968
    Unten rechts KachelX + 1 921 KachelY + 1 937 2.50959257 -1.42366452 143.789063 -81.569968
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42276224--1.42366452) × R
    0.000902280000000033 × 6371000     		dl = 5748.42588000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42276224--1.42366452) × R
    0.000902280000000033 × 6371000     		dr = 5748.42588000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.50345665-2.50959257) × cos(-1.42276224) × R
    0.00613592000000018 × 0.147494006831501 × 6371000     		do = 5765.82779757893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.50345665-2.50959257) × cos(-1.42366452) × R
    0.00613592000000018 × 0.14660153519646 × 6371000     		du = 5730.93934432978m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42276224)-sin(-1.42366452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147494006831501-0.14660153519646)×R²
    abs(2.50959257-2.50345665)×0.000892471635040942×R²
    0.00613592000000018×0.000892471635040942×6371000²
    0.00613592000000018×0.000892471635040942×40589641000000     		ar = 33044159.1292394m²