Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 920 / 712
↖ ↑ ↗
← N 75.320025°
W 99.140625°		 ← 2 476.67 m → N 75.320025°
W 99.052734°		 →
↑
2 478.51 m
↓
↑
2 478.51 m
↓
N 75.297735°
W 99.140625°		 ← 2 480.35 m →
6 143 007 m²		 N 75.297735°
W 99.052734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 920 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 712 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2247314453125 y=0.1739501953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2247314453125 × 212)
    floor (0.2247314453125 × 4096)
    floor (920.5)     		tx = 920
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1739501953125 × 212)
    floor (0.1739501953125 × 4096)
    floor (712.5)     		ty = 712
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 920 / 712 ti = "12/920/712"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/920/712.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 920 ÷ 212
    920 ÷ 4096     		x = 0.224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 712 ÷ 212
    712 ÷ 4096     		y = 0.173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.224609375 × 2 - 1) × π
    -0.55078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.73033033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.173828125 × 2 - 1) × π
    0.65234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.04939833255664
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.73033033} λ = -1.73033033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.04939833255664))-π/2
    2×atan(7.76322881883045)-π/2
    2×1.44268937988364-π/2
    2.88537875976729-1.57079632675     		φ = 1.31458243
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.73033033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.140625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31458243 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.320025°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 920 KachelY 712 -1.73033033 1.31458243 -99.140625 75.320025
    Oben rechts KachelX + 1 921 KachelY 712 -1.72879635 1.31458243 -99.052734 75.320025
    Unten links KachelX 920 KachelY + 1 713 -1.73033033 1.31419340 -99.140625 75.297735
    Unten rechts KachelX + 1 921 KachelY + 1 713 -1.72879635 1.31419340 -99.052734 75.297735
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31458243-1.31419340) × R
    0.000389030000000012 × 6371000     		dl = 2478.51013000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31458243-1.31419340) × R
    0.000389030000000012 × 6371000     		dr = 2478.51013000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.73033033--1.72879635) × cos(1.31458243) × R
    0.00153397999999982 × 0.25341986587156 × 6371000     		do = 2476.66894826787m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.73033033--1.72879635) × cos(1.31419340) × R
    0.00153397999999982 × 0.253796177338885 × 6371000     		du = 2480.34663518794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31458243)-sin(1.31419340))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.25341986587156-0.253796177338885)×R²
    abs(-1.72879635--1.73033033)×0.000376311467324864×R²
    0.00153397999999982×0.000376311467324864×6371000²
    0.00153397999999982×0.000376311467324864×40589641000000     		ar = 6143006.74655263m²