Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 920 / 1335
↖ ↑ ↗
← S 47.872144°
W 18.281250°		 ← 13.111 km → S 47.872144°
W 18.105469°		 →
↑
13.096 km
↓
↑
13.096 km
↓
S 47.989922°
W 18.281250°		 ← 13.081 km →
171.513 km²		 S 47.989922°
W 18.105469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 920 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1335 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449462890625 y=0.652099609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449462890625 × 211)
    floor (0.449462890625 × 2048)
    floor (920.5)     		tx = 920
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652099609375 × 211)
    floor (0.652099609375 × 2048)
    floor (1335.5)     		ty = 1335
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 920 / 1335 ti = "11/920/1335"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/920/1335.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 920 ÷ 211
    920 ÷ 2048     		x = 0.44921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1335 ÷ 211
    1335 ÷ 2048     		y = 0.65185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44921875 × 2 - 1) × π
    -0.1015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31906800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65185546875 × 2 - 1) × π
    -0.3037109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.954136050037598
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31906800} λ = -0.31906800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.954136050037598))-π/2
    2×atan(0.385144746645892)-π/2
    2×0.36763489728368-π/2
    0.73526979456736-1.57079632675     		φ = -0.83552653
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31906800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.281250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83552653 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.872144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 920 KachelY 1335 -0.31906800 -0.83552653 -18.281250 -47.872144
    Oben rechts KachelX + 1 921 KachelY 1335 -0.31600004 -0.83552653 -18.105469 -47.872144
    Unten links KachelX 920 KachelY + 1 1336 -0.31906800 -0.83758214 -18.281250 -47.989922
    Unten rechts KachelX + 1 921 KachelY + 1 1336 -0.31600004 -0.83758214 -18.105469 -47.989922
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83552653--0.83758214) × R
    0.00205560999999999 × 6371000     		dl = 13096.2913099999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83552653--0.83758214) × R
    0.00205560999999999 × 6371000     		dr = 13096.2913099999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31906800--0.31600004) × cos(-0.83552653) × R
    0.00306796000000004 × 0.670787274788976 × 6371000     		do = 13111.190069095m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31906800--0.31600004) × cos(-0.83758214) × R
    0.00306796000000004 × 0.669261315892548 × 6371000     		du = 13081.3637174622m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83552653)-sin(-0.83758214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670787274788976-0.669261315892548)×R²
    abs(-0.31600004--0.31906800)×0.00152595889642804×R²
    0.00306796000000004×0.00152595889642804×6371000²
    0.00306796000000004×0.00152595889642804×40589641000000     		ar = 171512717.66517m²