Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9198 / 9585
↖ ↑ ↗
← S 29.248063°
E 22.104492°		 ← 2 131.74 m → S 29.248063°
E 22.126465°		 →
↑
2 131.61 m
↓
↑
2 131.61 m
↓
S 29.267233°
E 22.104492°		 ← 2 131.34 m →
4 543 601 m²		 S 29.267233°
E 22.126465°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9198 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9585 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.561431884765625 y=0.585052490234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.561431884765625 × 214)
    floor (0.561431884765625 × 16384)
    floor (9198.5)     		tx = 9198
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585052490234375 × 214)
    floor (0.585052490234375 × 16384)
    floor (9585.5)     		ty = 9585
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9198 / 9585 ti = "14/9198/9585"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9198/9585.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9198 ÷ 214
    9198 ÷ 16384     		x = 0.5614013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9585 ÷ 214
    9585 ÷ 16384     		y = 0.58502197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5614013671875 × 2 - 1) × π
    0.122802734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.38579617
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58502197265625 × 2 - 1) × π
    -0.1700439453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.534208809365906
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38579617} λ = 0.38579617}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.534208809365906))-π/2
    2×atan(0.586132849559585)-π/2
    2×0.530160661686218-π/2
    1.06032132337244-1.57079632675     		φ = -0.51047500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38579617} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.104492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51047500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.248063°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9198 KachelY 9585 0.38579617 -0.51047500 22.104492 -29.248063
    Oben rechts KachelX + 1 9199 KachelY 9585 0.38617966 -0.51047500 22.126465 -29.248063
    Unten links KachelX 9198 KachelY + 1 9586 0.38579617 -0.51080958 22.104492 -29.267233
    Unten rechts KachelX + 1 9199 KachelY + 1 9586 0.38617966 -0.51080958 22.126465 -29.267233
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51047500--0.51080958) × R
    0.000334579999999973 × 6371000     		dl = 2131.60917999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51047500--0.51080958) × R
    0.000334579999999973 × 6371000     		dr = 2131.60917999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38579617-0.38617966) × cos(-0.51047500) × R
    0.000383489999999986 × 0.872512525005714 × 6371000     		do = 2131.73550555413m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38579617-0.38617966) × cos(-0.51080958) × R
    0.000383489999999986 × 0.872349003146403 × 6371000     		du = 2131.33598652897m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51047500)-sin(-0.51080958))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872512525005714-0.872349003146403)×R²
    abs(0.38617966-0.38579617)×0.000163521859311011×R²
    0.000383489999999986×0.000163521859311011×6371000²
    0.000383489999999986×0.000163521859311011×40589641000000     		ar = 4543601.2061449m²