Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9198 / 11310
↖ ↑ ↗
← N 75.433742°
W129.473877°		 ← 153.63 m → N 75.433742°
W129.468384°		 →
↑
153.60 m
↓
↑
153.60 m
↓
N 75.432361°
W129.473877°		 ← 153.64 m →
23 599 m²		 N 75.432361°
W129.468384°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9198 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11310 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.140357971191406 y=0.172584533691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.140357971191406 × 216)
    floor (0.140357971191406 × 65536)
    floor (9198.5)     		tx = 9198
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.172584533691406 × 216)
    floor (0.172584533691406 × 65536)
    floor (11310.5)     		ty = 11310
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9198 / 11310 ti = "16/9198/11310"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9198/11310.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9198 ÷ 216
    9198 ÷ 65536     		x = 0.140350341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11310 ÷ 216
    11310 ÷ 65536     		y = 0.172576904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.140350341796875 × 2 - 1) × π
    -0.71929931640625 × 3.1415926535     		Λ = -2.25974545
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.172576904296875 × 2 - 1) × π
    0.65484619140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.05725998409433
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25974545} λ = -2.25974545}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05725998409433))-π/2
    2×atan(7.82450115390445)-π/2
    2×1.44368175027554-π/2
    2.88736350055108-1.57079632675     		φ = 1.31656717
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25974545} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.473877°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31656717 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.433742°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9198 KachelY 11310 -2.25974545 1.31656717 -129.473877 75.433742
    Oben rechts KachelX + 1 9199 KachelY 11310 -2.25964957 1.31656717 -129.468384 75.433742
    Unten links KachelX 9198 KachelY + 1 11311 -2.25974545 1.31654306 -129.473877 75.432361
    Unten rechts KachelX + 1 9199 KachelY + 1 11311 -2.25964957 1.31654306 -129.468384 75.432361
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31656717-1.31654306) × R
    2.41099999997996e-05 × 6371000     		dl = 153.604809998723m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31656717-1.31654306) × R
    2.41099999997996e-05 × 6371000     		dr = 153.604809998723m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25974545--2.25964957) × cos(1.31656717) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.251499417089927 × 6371000     		do = 153.628791148418m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25974545--2.25964957) × cos(1.31654306) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.251522752059943 × 6371000     		du = 153.643045349388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31656717)-sin(1.31654306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.251499417089927-0.251522752059943)×R²
    abs(-2.25964957--2.25974545)×2.33349700157759e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.33349700157759e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.33349700157759e-05×40589641000000     		ar = 23599.216032702m²