Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 919 / 558
↖ ↑ ↗
← N 63.074866°
W 18.457032°		 ← 8 850.95 m → N 63.074866°
W 18.281250°		 →
↑
8 863.02 m
↓
↑
8 863.02 m
↓
N 62.995159°
W 18.457032°		 ← 8 875.19 m →
78 553 540 m²		 N 62.995159°
W 18.281250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 919 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 558 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448974609375 y=0.272705078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448974609375 × 211)
    floor (0.448974609375 × 2048)
    floor (919.5)     		tx = 919
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272705078125 × 211)
    floor (0.272705078125 × 2048)
    floor (558.5)     		ty = 558
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 919 / 558 ti = "11/919/558"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/919/558.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 919 ÷ 211
    919 ÷ 2048     		x = 0.44873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 558 ÷ 211
    558 ÷ 2048     		y = 0.2724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44873046875 × 2 - 1) × π
    -0.1025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32213597
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2724609375 × 2 - 1) × π
    0.455078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.42967009426855
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32213597} λ = -0.32213597}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42967009426855))-π/2
    2×atan(4.17732084248504)-π/2
    2×1.33583020416517-π/2
    2.67166040833034-1.57079632675     		φ = 1.10086408
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32213597} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.457032°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10086408 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.074866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 919 KachelY 558 -0.32213597 1.10086408 -18.457032 63.074866
    Oben rechts KachelX + 1 920 KachelY 558 -0.31906800 1.10086408 -18.281250 63.074866
    Unten links KachelX 919 KachelY + 1 559 -0.32213597 1.09947293 -18.457032 62.995159
    Unten rechts KachelX + 1 920 KachelY + 1 559 -0.31906800 1.09947293 -18.281250 62.995159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10086408-1.09947293) × R
    0.00139115000000012 × 6371000     		dl = 8863.01665000076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10086408-1.09947293) × R
    0.00139115000000012 × 6371000     		dr = 8863.01665000076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32213597--0.31906800) × cos(1.10086408) × R
    0.00306796999999998 × 0.452825877730534 × 6371000     		do = 8850.95130181106m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32213597--0.31906800) × cos(1.09947293) × R
    0.00306796999999998 × 0.454065787061965 × 6371000     		du = 8875.18661531867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10086408)-sin(1.09947293))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.452825877730534-0.454065787061965)×R²
    abs(-0.31906800--0.32213597)×0.00123990933143081×R²
    0.00306796999999998×0.00123990933143081×6371000²
    0.00306796999999998×0.00123990933143081×40589641000000     		ar = 78553540.4185671m²