Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9186 / 9575
↖ ↑ ↗
← S 29.056170°
E 21.840821°		 ← 2 135.72 m → S 29.056170°
E 21.862793°		 →
↑
2 135.56 m
↓
↑
2 135.56 m
↓
S 29.075375°
E 21.840821°		 ← 2 135.32 m →
4 560 535 m²		 S 29.075375°
E 21.862793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9186 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9575 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560699462890625 y=0.584442138671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560699462890625 × 214)
    floor (0.560699462890625 × 16384)
    floor (9186.5)     		tx = 9186
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584442138671875 × 214)
    floor (0.584442138671875 × 16384)
    floor (9575.5)     		ty = 9575
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9186 / 9575 ti = "14/9186/9575"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9186/9575.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9186 ÷ 214
    9186 ÷ 16384     		x = 0.5606689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9575 ÷ 214
    9575 ÷ 16384     		y = 0.58441162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5606689453125 × 2 - 1) × π
    0.121337890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.38119423
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58441162109375 × 2 - 1) × π
    -0.1688232421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.530373857396301
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38119423} λ = 0.38119423}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.530373857396301))-π/2
    2×atan(0.588384956486283)-π/2
    2×0.531835248738527-π/2
    1.06367049747705-1.57079632675     		φ = -0.50712583
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38119423} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.840821°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50712583 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.056170°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9186 KachelY 9575 0.38119423 -0.50712583 21.840821 -29.056170
    Oben rechts KachelX + 1 9187 KachelY 9575 0.38157772 -0.50712583 21.862793 -29.056170
    Unten links KachelX 9186 KachelY + 1 9576 0.38119423 -0.50746103 21.840821 -29.075375
    Unten rechts KachelX + 1 9187 KachelY + 1 9576 0.38157772 -0.50746103 21.862793 -29.075375
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50712583--0.50746103) × R
    0.00033519999999998 × 6371000     		dl = 2135.55919999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50712583--0.50746103) × R
    0.00033519999999998 × 6371000     		dr = 2135.55919999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38119423-0.38157772) × cos(-0.50712583) × R
    0.000383489999999986 × 0.874144005306976 × 6371000     		do = 2135.72156235577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38119423-0.38157772) × cos(-0.50746103) × R
    0.000383489999999986 × 0.873981160683682 × 6371000     		du = 2135.32369796366m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50712583)-sin(-0.50746103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874144005306976-0.873981160683682)×R²
    abs(0.38157772-0.38119423)×0.000162844623293634×R²
    0.000383489999999986×0.000162844623293634×6371000²
    0.000383489999999986×0.000162844623293634×40589641000000     		ar = 4560535.04234675m²