Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9186 / 9571
↖ ↑ ↗
← S 28.979312°
E 21.840821°		 ← 2 137.31 m → S 28.979312°
E 21.862793°		 →
↑
2 137.15 m
↓
↑
2 137.15 m
↓
S 28.998532°
E 21.840821°		 ← 2 136.91 m →
4 567 335 m²		 S 28.998532°
E 21.862793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9186 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9571 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560699462890625 y=0.584197998046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560699462890625 × 214)
    floor (0.560699462890625 × 16384)
    floor (9186.5)     		tx = 9186
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584197998046875 × 214)
    floor (0.584197998046875 × 16384)
    floor (9571.5)     		ty = 9571
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9186 / 9571 ti = "14/9186/9571"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9186/9571.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9186 ÷ 214
    9186 ÷ 16384     		x = 0.5606689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9571 ÷ 214
    9571 ÷ 16384     		y = 0.58416748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5606689453125 × 2 - 1) × π
    0.121337890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.38119423
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58416748046875 × 2 - 1) × π
    -0.1683349609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.528839876608459
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38119423} λ = 0.38119423}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.528839876608459))-π/2
    2×atan(0.589288220322952)-π/2
    2×0.532505958402244-π/2
    1.06501191680449-1.57079632675     		φ = -0.50578441
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38119423} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.840821°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50578441 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.979312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9186 KachelY 9571 0.38119423 -0.50578441 21.840821 -28.979312
    Oben rechts KachelX + 1 9187 KachelY 9571 0.38157772 -0.50578441 21.862793 -28.979312
    Unten links KachelX 9186 KachelY + 1 9572 0.38119423 -0.50611986 21.840821 -28.998532
    Unten rechts KachelX + 1 9187 KachelY + 1 9572 0.38157772 -0.50611986 21.862793 -28.998532
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50578441--0.50611986) × R
    0.000335450000000015 × 6371000     		dl = 2137.15195000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50578441--0.50611986) × R
    0.000335450000000015 × 6371000     		dr = 2137.15195000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38119423-0.38157772) × cos(-0.50578441) × R
    0.000383489999999986 × 0.874794701823858 × 6371000     		do = 2137.31135370961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38119423-0.38157772) × cos(-0.50611986) × R
    0.000383489999999986 × 0.874632129167169 × 6371000     		du = 2136.91415379034m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50578441)-sin(-0.50611986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874794701823858-0.874632129167169)×R²
    abs(0.38157772-0.38119423)×0.000162572656688842×R²
    0.000383489999999986×0.000162572656688842×6371000²
    0.000383489999999986×0.000162572656688842×40589641000000     		ar = 4567334.73187601m²