Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9185 / 9570
↖ ↑ ↗
← S 28.960089°
E 21.818848°		 ← 2 137.76 m → S 28.960089°
E 21.840821°		 →
↑
2 137.53 m
↓
↑
2 137.53 m
↓
S 28.979312°
E 21.818848°		 ← 2 137.37 m →
4 569 120 m²		 S 28.979312°
E 21.840821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9185 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9570 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560638427734375 y=0.584136962890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560638427734375 × 214)
    floor (0.560638427734375 × 16384)
    floor (9185.5)     		tx = 9185
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584136962890625 × 214)
    floor (0.584136962890625 × 16384)
    floor (9570.5)     		ty = 9570
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9185 / 9570 ti = "14/9185/9570"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9185/9570.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9185 ÷ 214
    9185 ÷ 16384     		x = 0.56060791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9570 ÷ 214
    9570 ÷ 16384     		y = 0.5841064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56060791015625 × 2 - 1) × π
    0.1212158203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.38081073
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5841064453125 × 2 - 1) × π
    -0.168212890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.528456381411499
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38081073} λ = 0.38081073}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.528456381411499))-π/2
    2×atan(0.589514252863498)-π/2
    2×0.532673713766414-π/2
    1.06534742753283-1.57079632675     		φ = -0.50544890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38081073} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.818848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50544890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.960089°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9185 KachelY 9570 0.38081073 -0.50544890 21.818848 -28.960089
    Oben rechts KachelX + 1 9186 KachelY 9570 0.38119423 -0.50544890 21.840821 -28.960089
    Unten links KachelX 9185 KachelY + 1 9571 0.38081073 -0.50578441 21.818848 -28.979312
    Unten rechts KachelX + 1 9186 KachelY + 1 9571 0.38119423 -0.50578441 21.840821 -28.979312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50544890--0.50578441) × R
    0.000335509999999983 × 6371000     		dl = 2137.53420999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50544890--0.50578441) × R
    0.000335509999999983 × 6371000     		dr = 2137.53420999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38081073-0.38119423) × cos(-0.50544890) × R
    0.000383500000000037 × 0.874957205094802 × 6371000     		do = 2137.76412762842m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38081073-0.38119423) × cos(-0.50578441) × R
    0.000383500000000037 × 0.874794701823858 × 6371000     		du = 2137.36708688035m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50544890)-sin(-0.50578441))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874957205094802-0.874794701823858)×R²
    abs(0.38119423-0.38081073)×0.000162503270943692×R²
    0.000383500000000037×0.000162503270943692×6371000²
    0.000383500000000037×0.000162503270943692×40589641000000     		ar = 4569119.65448575m²