Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9184 / 9569
↖ ↑ ↗
← S 28.940862°
E 21.796875°		 ← 2 138.11 m → S 28.940862°
E 21.818848°		 →
↑
2 137.92 m
↓
↑
2 137.92 m
↓
S 28.960089°
E 21.796875°		 ← 2 137.71 m →
4 570 666 m²		 S 28.960089°
E 21.818848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9569 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560577392578125 y=0.584075927734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560577392578125 × 214)
    floor (0.560577392578125 × 16384)
    floor (9184.5)     		tx = 9184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584075927734375 × 214)
    floor (0.584075927734375 × 16384)
    floor (9569.5)     		ty = 9569
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9184 / 9569 ti = "14/9184/9569"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9184/9569.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9184 ÷ 214
    9184 ÷ 16384     		x = 0.560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9569 ÷ 214
    9569 ÷ 16384     		y = 0.58404541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560546875 × 2 - 1) × π
    0.12109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.38042724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58404541015625 × 2 - 1) × π
    -0.1680908203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.528072886214539
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38042724} λ = 0.38042724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.528072886214539))-π/2
    2×atan(0.589740372103061)-π/2
    2×0.532841500283713-π/2
    1.06568300056743-1.57079632675     		φ = -0.50511333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38042724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.796875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50511333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.940862°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9184 KachelY 9569 0.38042724 -0.50511333 21.796875 -28.940862
    Oben rechts KachelX + 1 9185 KachelY 9569 0.38081073 -0.50511333 21.818848 -28.940862
    Unten links KachelX 9184 KachelY + 1 9570 0.38042724 -0.50544890 21.796875 -28.960089
    Unten rechts KachelX + 1 9185 KachelY + 1 9570 0.38081073 -0.50544890 21.818848 -28.960089
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50511333--0.50544890) × R
    0.000335569999999952 × 6371000     		dl = 2137.91646999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50511333--0.50544890) × R
    0.000335569999999952 × 6371000     		dr = 2137.91646999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38042724-0.38081073) × cos(-0.50511333) × R
    0.000383489999999986 × 0.875119638908872 × 6371000     		do = 2138.10524480154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38042724-0.38081073) × cos(-0.50544890) × R
    0.000383489999999986 × 0.874957205094802 × 6371000     		du = 2137.70838410461m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50511333)-sin(-0.50544890))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875119638908872-0.874957205094802)×R²
    abs(0.38081073-0.38042724)×0.000162433814070662×R²
    0.000383489999999986×0.000162433814070662×6371000²
    0.000383489999999986×0.000162433814070662×40589641000000     		ar = 4570666.23283504m²