Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 9184 / 17120
↖ ↑ ↗
← S  8.059230°
W 79.101563°		 ← 1 209.57 m → S  8.059230°
W 79.090576°		 →
↑
1 209.53 m
↓
↑
1 209.53 m
↓
S  8.070107°
W 79.101563°		 ← 1 209.54 m →
1 463 002 m²		 S  8.070107°
W 79.090576°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17120 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.280288696289062 y=0.522476196289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.280288696289062 × 215)
    floor (0.280288696289062 × 32768)
    floor (9184.5)     		tx = 9184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522476196289062 × 215)
    floor (0.522476196289062 × 32768)
    floor (17120.5)     		ty = 17120
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9184 / 17120 ti = "15/9184/17120"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9184/17120.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9184 ÷ 215
    9184 ÷ 32768     		x = 0.2802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17120 ÷ 215
    17120 ÷ 32768     		y = 0.5224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2802734375 × 2 - 1) × π
    -0.439453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.38058271
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5224609375 × 2 - 1) × π
    -0.044921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.141126232481445
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38058271} λ = -1.38058271}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.141126232481445))-π/2
    2×atan(0.868379687055984)-π/2
    2×0.715068117314986-π/2
    1.43013623462997-1.57079632675     		φ = -0.14066009
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38058271} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.101563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14066009 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.059230°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9184 KachelY 17120 -1.38058271 -0.14066009 -79.101563 -8.059230
    Oben rechts KachelX + 1 9185 KachelY 17120 -1.38039096 -0.14066009 -79.090576 -8.059230
    Unten links KachelX 9184 KachelY + 1 17121 -1.38058271 -0.14084994 -79.101563 -8.070107
    Unten rechts KachelX + 1 9185 KachelY + 1 17121 -1.38039096 -0.14084994 -79.090576 -8.070107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14066009--0.14084994) × R
    0.000189850000000019 × 6371000     		dl = 1209.53435000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14066009--0.14084994) × R
    0.000189850000000019 × 6371000     		dr = 1209.53435000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38058271--1.38039096) × cos(-0.14066009) × R
    0.000191750000000157 × 0.990123669476922 × 6371000     		do = 1209.57393698803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38058271--1.38039096) × cos(-0.14084994) × R
    0.000191750000000157 × 0.990097035287048 × 6371000     		du = 1209.54139961628m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14066009)-sin(-0.14084994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990123669476922-0.990097035287048)×R²
    abs(-1.38039096--1.38058271)×2.66341898733646e-05×R²
    0.000191750000000157×2.66341898733646e-05×6371000²
    0.000191750000000157×2.66341898733646e-05×40589641000000     		ar = 1463001.55251176m²