Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9184 / 11299
↖ ↑ ↗
← N 75.448931°
W129.550781°		 ← 153.46 m → N 75.448931°
W129.545288°		 →
↑
153.48 m
↓
↑
153.48 m
↓
N 75.447551°
W129.550781°		 ← 153.47 m →
23 553 m²		 N 75.447551°
W129.545288°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11299 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.140144348144531 y=0.172416687011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.140144348144531 × 216)
    floor (0.140144348144531 × 65536)
    floor (9184.5)     		tx = 9184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.172416687011719 × 216)
    floor (0.172416687011719 × 65536)
    floor (11299.5)     		ty = 11299
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9184 / 11299 ti = "16/9184/11299"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9184/11299.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9184 ÷ 216
    9184 ÷ 65536     		x = 0.14013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11299 ÷ 216
    11299 ÷ 65536     		y = 0.172409057617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14013671875 × 2 - 1) × π
    -0.7197265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.26108768
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.172409057617188 × 2 - 1) × π
    0.655181884765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.05831459588597
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.26108768} λ = -2.26108768}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05831459588597))-π/2
    2×atan(7.83275731784378)-π/2
    2×1.44381429973845-π/2
    2.8876285994769-1.57079632675     		φ = 1.31683227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.26108768} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.550781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31683227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.448931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9184 KachelY 11299 -2.26108768 1.31683227 -129.550781 75.448931
    Oben rechts KachelX + 1 9185 KachelY 11299 -2.26099181 1.31683227 -129.545288 75.448931
    Unten links KachelX 9184 KachelY + 1 11300 -2.26108768 1.31680818 -129.550781 75.447551
    Unten rechts KachelX + 1 9185 KachelY + 1 11300 -2.26099181 1.31680818 -129.545288 75.447551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31683227-1.31680818) × R
    2.40899999999211e-05 × 6371000     		dl = 153.477389999497m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31683227-1.31680818) × R
    2.40899999999211e-05 × 6371000     		dr = 153.477389999497m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.26108768--2.26099181) × cos(1.31683227) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.251242829245541 × 6371000     		do = 153.456047403372m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.26108768--2.26099181) × cos(1.31680818) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.251266146463925 × 6371000     		du = 153.470289275191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31683227)-sin(1.31680818))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.251242829245541-0.251266146463925)×R²
    abs(-2.26099181--2.26108768)×2.33172183837227e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.33172183837227e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.33172183837227e-05×40589641000000     		ar = 23553.1265389886m²