Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9184 / 11297
↖ ↑ ↗
← N 75.451691°
W129.550781°		 ← 153.43 m → N 75.451691°
W129.545288°		 →
↑
153.41 m
↓
↑
153.41 m
↓
N 75.450312°
W129.550781°		 ← 153.44 m →
23 539 m²		 N 75.450312°
W129.545288°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11297 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.140144348144531 y=0.172386169433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.140144348144531 × 216)
    floor (0.140144348144531 × 65536)
    floor (9184.5)     		tx = 9184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.172386169433594 × 216)
    floor (0.172386169433594 × 65536)
    floor (11297.5)     		ty = 11297
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9184 / 11297 ti = "16/9184/11297"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9184/11297.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9184 ÷ 216
    9184 ÷ 65536     		x = 0.14013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11297 ÷ 216
    11297 ÷ 65536     		y = 0.172378540039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14013671875 × 2 - 1) × π
    -0.7197265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.26108768
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.172378540039062 × 2 - 1) × π
    0.655242919921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.05850634348445
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.26108768} λ = -2.26108768}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05850634348445))-π/2
    2×atan(7.83425937425221)-π/2
    2×1.4438383851076-π/2
    2.88767677021521-1.57079632675     		φ = 1.31688044
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.26108768} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.550781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31688044 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.451691°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9184 KachelY 11297 -2.26108768 1.31688044 -129.550781 75.451691
    Oben rechts KachelX + 1 9185 KachelY 11297 -2.26099181 1.31688044 -129.545288 75.451691
    Unten links KachelX 9184 KachelY + 1 11298 -2.26108768 1.31685636 -129.550781 75.450312
    Unten rechts KachelX + 1 9185 KachelY + 1 11298 -2.26099181 1.31685636 -129.545288 75.450312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31688044-1.31685636) × R
    2.40799999999819e-05 × 6371000     		dl = 153.413679999885m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31688044-1.31685636) × R
    2.40799999999819e-05 × 6371000     		dr = 153.413679999885m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.26108768--2.26099181) × cos(1.31688044) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.251196204050739 × 6371000     		do = 153.427569304613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.26108768--2.26099181) × cos(1.31685636) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.251219511881354 × 6371000     		du = 153.441805442498m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31688044)-sin(1.31685636))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.251196204050739-0.251219511881354)×R²
    abs(-2.26099181--2.26108768)×2.33078306148271e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.33078306148271e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.33078306148271e-05×40589641000000     		ar = 23538.9800309879m²