Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9183 / 7201
↖ ↑ ↗
← N 70.491905°
W 79.112549°		 ← 407.95 m → N 70.491905°
W 79.101563°		 →
↑
408 m
↓
↑
408 m
↓
N 70.488236°
W 79.112549°		 ← 408.03 m →
166 460 m²		 N 70.488236°
W 79.101563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9183 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7201 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.280258178710938 y=0.219772338867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.280258178710938 × 215)
    floor (0.280258178710938 × 32768)
    floor (9183.5)     		tx = 9183
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219772338867188 × 215)
    floor (0.219772338867188 × 32768)
    floor (7201.5)     		ty = 7201
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9183 / 7201 ti = "15/9183/7201"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9183/7201.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9183 ÷ 215
    9183 ÷ 32768     		x = 0.280242919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7201 ÷ 215
    7201 ÷ 32768     		y = 0.219757080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.280242919921875 × 2 - 1) × π
    -0.43951416015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.38077446
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.219757080078125 × 2 - 1) × π
    0.56048583984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.7608181968439
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38077446} λ = -1.38077446}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7608181968439))-π/2
    2×atan(5.8171950584215)-π/2
    2×1.40055608336786-π/2
    2.80111216673571-1.57079632675     		φ = 1.23031584
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38077446} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.112549°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23031584 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.491905°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9183 KachelY 7201 -1.38077446 1.23031584 -79.112549 70.491905
    Oben rechts KachelX + 1 9184 KachelY 7201 -1.38058271 1.23031584 -79.101563 70.491905
    Unten links KachelX 9183 KachelY + 1 7202 -1.38077446 1.23025180 -79.112549 70.488236
    Unten rechts KachelX + 1 9184 KachelY + 1 7202 -1.38058271 1.23025180 -79.101563 70.488236
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23031584-1.23025180) × R
    6.4040000000043e-05 × 6371000     		dl = 407.998840000274m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23031584-1.23025180) × R
    6.4040000000043e-05 × 6371000     		dr = 407.998840000274m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38077446--1.38058271) × cos(1.23031584) × R
    0.000191749999999935 × 0.333940034795323 × 6371000     		do = 407.954253652194m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38077446--1.38058271) × cos(1.23025180) × R
    0.000191749999999935 × 0.334000397850807 × 6371000     		du = 408.027995530023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23031584)-sin(1.23025180))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333940034795323-0.334000397850807)×R²
    abs(-1.38058271--1.38077446)×6.03630554834034e-05×R²
    0.000191749999999935×6.03630554834034e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.03630554834034e-05×40589641000000     		ar = 166459.905619743m²