Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9183 / 11233
↖ ↑ ↗
← N 75.539741°
W129.556275°		 ← 152.53 m → N 75.539741°
W129.550781°		 →
↑
152.59 m
↓
↑
152.59 m
↓
N 75.538369°
W129.556275°		 ← 152.55 m →
23 276 m²		 N 75.538369°
W129.550781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9183 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11233 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.140129089355469 y=0.171409606933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.140129089355469 × 216)
    floor (0.140129089355469 × 65536)
    floor (9183.5)     		tx = 9183
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171409606933594 × 216)
    floor (0.171409606933594 × 65536)
    floor (11233.5)     		ty = 11233
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9183 / 11233 ti = "16/9183/11233"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9183/11233.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9183 ÷ 216
    9183 ÷ 65536     		x = 0.140121459960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11233 ÷ 216
    11233 ÷ 65536     		y = 0.171401977539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.140121459960938 × 2 - 1) × π
    -0.719757080078125 × 3.1415926535     		Λ = -2.26118356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.171401977539062 × 2 - 1) × π
    0.657196044921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.06464226663582
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.26118356} λ = -2.26118356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06464226663582))-π/2
    2×atan(7.88247756800348)-π/2
    2×1.44460676107463-π/2
    2.88921352214926-1.57079632675     		φ = 1.31841720
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.26118356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.556275°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31841720 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.539741°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9183 KachelY 11233 -2.26118356 1.31841720 -129.556275 75.539741
    Oben rechts KachelX + 1 9184 KachelY 11233 -2.26108768 1.31841720 -129.550781 75.539741
    Unten links KachelX 9183 KachelY + 1 11234 -2.26118356 1.31839325 -129.556275 75.538369
    Unten rechts KachelX + 1 9184 KachelY + 1 11234 -2.26108768 1.31839325 -129.550781 75.538369
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31841720-1.31839325) × R
    2.39500000001058e-05 × 6371000     		dl = 152.585450000674m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31841720-1.31839325) × R
    2.39500000001058e-05 × 6371000     		dr = 152.585450000674m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.26118356--2.26108768) × cos(1.31841720) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.249708422401195 × 6371000     		do = 152.534759392135m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.26118356--2.26108768) × cos(1.31839325) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.249731613619316 × 6371000     		du = 152.548925782047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31841720)-sin(1.31839325))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.249708422401195-0.249731613619316)×R²
    abs(-2.26108768--2.26118356)×2.31912181211935e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.31912181211935e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.31912181211935e-05×40589641000000     		ar = 23275.6656959417m²