Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9182 / 9574
↖ ↑ ↗
← S 29.036961°
E 21.752929°		 ← 2 136.17 m → S 29.036961°
E 21.774902°		 →
↑
2 135.94 m
↓
↑
2 135.94 m
↓
S 29.056170°
E 21.752929°		 ← 2 135.78 m →
4 562 320 m²		 S 29.056170°
E 21.774902°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9182 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9574 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560455322265625 y=0.584381103515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560455322265625 × 214)
    floor (0.560455322265625 × 16384)
    floor (9182.5)     		tx = 9182
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584381103515625 × 214)
    floor (0.584381103515625 × 16384)
    floor (9574.5)     		ty = 9574
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9182 / 9574 ti = "14/9182/9574"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9182/9574.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9182 ÷ 214
    9182 ÷ 16384     		x = 0.5604248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9574 ÷ 214
    9574 ÷ 16384     		y = 0.5843505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5604248046875 × 2 - 1) × π
    0.120849609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.37966024
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5843505859375 × 2 - 1) × π
    -0.168701171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.529990362199341
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37966024} λ = 0.37966024}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.529990362199341))-π/2
    2×atan(0.588610642563057)-π/2
    2×0.532002879359386-π/2
    1.06400575871877-1.57079632675     		φ = -0.50679057
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37966024} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.752929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50679057 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.036961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9182 KachelY 9574 0.37966024 -0.50679057 21.752929 -29.036961
    Oben rechts KachelX + 1 9183 KachelY 9574 0.38004374 -0.50679057 21.774902 -29.036961
    Unten links KachelX 9182 KachelY + 1 9575 0.37966024 -0.50712583 21.752929 -29.056170
    Unten rechts KachelX + 1 9183 KachelY + 1 9575 0.38004374 -0.50712583 21.774902 -29.056170
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50679057--0.50712583) × R
    0.000335259999999948 × 6371000     		dl = 2135.94145999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50679057--0.50712583) × R
    0.000335259999999948 × 6371000     		dr = 2135.94145999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37966024-0.38004374) × cos(-0.50679057) × R
    0.000383500000000037 × 0.874306780834714 × 6371000     		do = 2136.17496001787m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37966024-0.38004374) × cos(-0.50712583) × R
    0.000383500000000037 × 0.874144005306976 × 6371000     		du = 2135.77725407062m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50679057)-sin(-0.50712583))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874306780834714-0.874144005306976)×R²
    abs(0.38004374-0.37966024)×0.000162775527738357×R²
    0.000383500000000037×0.000162775527738357×6371000²
    0.000383500000000037×0.000162775527738357×40589641000000     		ar = 4562319.96733749m²