Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9182 / 7197
↖ ↑ ↗
← N 70.506575°
W 79.123535°		 ← 407.64 m → N 70.506575°
W 79.112549°		 →
↑
407.74 m
↓
↑
407.74 m
↓
N 70.502908°
W 79.123535°		 ← 407.71 m →
166 227 m²		 N 70.502908°
W 79.112549°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9182 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7197 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.280227661132812 y=0.219650268554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.280227661132812 × 215)
    floor (0.280227661132812 × 32768)
    floor (9182.5)     		tx = 9182
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219650268554688 × 215)
    floor (0.219650268554688 × 32768)
    floor (7197.5)     		ty = 7197
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9182 / 7197 ti = "15/9182/7197"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9182/7197.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9182 ÷ 215
    9182 ÷ 32768     		x = 0.28021240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7197 ÷ 215
    7197 ÷ 32768     		y = 0.219635009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.28021240234375 × 2 - 1) × π
    -0.4395751953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.38096620
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.219635009765625 × 2 - 1) × π
    0.56072998046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.76158518723782
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38096620} λ = -1.38096620}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76158518723782))-π/2
    2×atan(5.82165850264148)-π/2
    2×1.40068410148428-π/2
    2.80136820296856-1.57079632675     		φ = 1.23057188
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38096620} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.123535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23057188 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.506575°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9182 KachelY 7197 -1.38096620 1.23057188 -79.123535 70.506575
    Oben rechts KachelX + 1 9183 KachelY 7197 -1.38077446 1.23057188 -79.112549 70.506575
    Unten links KachelX 9182 KachelY + 1 7198 -1.38096620 1.23050788 -79.123535 70.502908
    Unten rechts KachelX + 1 9183 KachelY + 1 7198 -1.38077446 1.23050788 -79.112549 70.502908
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23057188-1.23050788) × R
    6.4000000000064e-05 × 6371000     		dl = 407.744000000408m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23057188-1.23050788) × R
    6.4000000000064e-05 × 6371000     		dr = 407.744000000408m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38096620--1.38077446) × cos(1.23057188) × R
    0.000191739999999996 × 0.333698682002156 × 6371000     		do = 407.638147664063m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38096620--1.38077446) × cos(1.23050788) × R
    0.000191739999999996 × 0.333759012825367 × 6371000     		du = 407.711846322006m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23057188)-sin(1.23050788))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333698682002156-0.333759012825367)×R²
    abs(-1.38077446--1.38096620)×6.03308232111077e-05×R²
    0.000191739999999996×6.03308232111077e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.03308232111077e-05×40589641000000     		ar = 166227.03403053m²