Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 9181 / 17181
↖ ↑ ↗
← S  8.722218°
W 79.134521°		 ← 1 207.51 m → S  8.722218°
W 79.123535°		 →
↑
1 207.43 m
↓
↑
1 207.43 m
↓
S  8.733077°
W 79.134521°		 ← 1 207.48 m →
1 457 966 m²		 S  8.733077°
W 79.123535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9181 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17181 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.280197143554688 y=0.524337768554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.280197143554688 × 215)
    floor (0.280197143554688 × 32768)
    floor (9181.5)     		tx = 9181
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524337768554688 × 215)
    floor (0.524337768554688 × 32768)
    floor (17181.5)     		ty = 17181
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9181 / 17181 ti = "15/9181/17181"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9181/17181.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9181 ÷ 215
    9181 ÷ 32768     		x = 0.280181884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17181 ÷ 215
    17181 ÷ 32768     		y = 0.524322509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.280181884765625 × 2 - 1) × π
    -0.43963623046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.38115795
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524322509765625 × 2 - 1) × π
    -0.04864501953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.152822835988739
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38115795} λ = -1.38115795}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.152822835988739))-π/2
    2×atan(0.858281764982984)-π/2
    2×0.709282449639162-π/2
    1.41856489927832-1.57079632675     		φ = -0.15223143
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38115795} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.134521°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15223143 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.722218°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9181 KachelY 17181 -1.38115795 -0.15223143 -79.134521 -8.722218
    Oben rechts KachelX + 1 9182 KachelY 17181 -1.38096620 -0.15223143 -79.123535 -8.722218
    Unten links KachelX 9181 KachelY + 1 17182 -1.38115795 -0.15242095 -79.134521 -8.733077
    Unten rechts KachelX + 1 9182 KachelY + 1 17182 -1.38096620 -0.15242095 -79.123535 -8.733077
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15223143--0.15242095) × R
    0.000189519999999999 × 6371000     		dl = 1207.43191999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15223143--0.15242095) × R
    0.000189519999999999 × 6371000     		dr = 1207.43191999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38115795--1.38096620) × cos(-0.15223143) × R
    0.000191749999999935 × 0.988435155797901 × 6371000     		do = 1207.51118240217m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38115795--1.38096620) × cos(-0.15242095) × R
    0.000191749999999935 × 0.988406398450945 × 6371000     		du = 1207.4760512984m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15223143)-sin(-0.15242095))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988435155797901-0.988406398450945)×R²
    abs(-1.38096620--1.38115795)×2.87573469556213e-05×R²
    0.000191749999999935×2.87573469556213e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.87573469556213e-05×40589641000000     		ar = 1457966.34054521m²