Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9180 / 9564
↖ ↑ ↗
← S 28.844674°
E 21.708984°		 ← 2 140.14 m → S 28.844674°
E 21.730957°		 →
↑
2 139.89 m
↓
↑
2 139.89 m
↓
S 28.863918°
E 21.708984°		 ← 2 139.75 m →
4 579 250 m²		 S 28.863918°
E 21.730957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560333251953125 y=0.583770751953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560333251953125 × 214)
    floor (0.560333251953125 × 16384)
    floor (9180.5)     		tx = 9180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583770751953125 × 214)
    floor (0.583770751953125 × 16384)
    floor (9564.5)     		ty = 9564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9180 / 9564 ti = "14/9180/9564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9180/9564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9180 ÷ 214
    9180 ÷ 16384     		x = 0.560302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9564 ÷ 214
    9564 ÷ 16384     		y = 0.583740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560302734375 × 2 - 1) × π
    0.12060546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.37889325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583740234375 × 2 - 1) × π
    -0.16748046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.526155410229736
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37889325} λ = 0.37889325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.526155410229736))-π/2
    2×atan(0.590872269950501)-π/2
    2×0.533680899707625-π/2
    1.06736179941525-1.57079632675     		φ = -0.50343453
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37889325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.708984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50343453 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.844674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9180 KachelY 9564 0.37889325 -0.50343453 21.708984 -28.844674
    Oben rechts KachelX + 1 9181 KachelY 9564 0.37927675 -0.50343453 21.730957 -28.844674
    Unten links KachelX 9180 KachelY + 1 9565 0.37889325 -0.50377041 21.708984 -28.863918
    Unten rechts KachelX + 1 9181 KachelY + 1 9565 0.37927675 -0.50377041 21.730957 -28.863918
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50343453--0.50377041) × R
    0.000335879999999955 × 6371000     		dl = 2139.89147999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50343453--0.50377041) × R
    0.000335879999999955 × 6371000     		dr = 2139.89147999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37889325-0.37927675) × cos(-0.50343453) × R
    0.000383499999999981 × 0.875930787757238 × 6371000     		do = 2140.14286121522m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37889325-0.37927675) × cos(-0.50377041) × R
    0.000383499999999981 × 0.875768697482478 × 6371000     		du = 2139.74682953184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50343453)-sin(-0.50377041))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875930787757238-0.875768697482478)×R²
    abs(0.37927675-0.37889325)×0.000162090274759885×R²
    0.000383499999999981×0.000162090274759885×6371000²
    0.000383499999999981×0.000162090274759885×40589641000000     		ar = 4579249.78533476m²