Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 918 / 690
↖ ↑ ↗
← N 75.802119°
W 99.316406°		 ← 2 397.04 m → N 75.802119°
W 99.228516°		 →
↑
2 398.81 m
↓
↑
2 398.81 m
↓
N 75.780546°
W 99.316406°		 ← 2 400.60 m →
5 754 309 m²		 N 75.780546°
W 99.228516°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 918 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 690 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2242431640625 y=0.1685791015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2242431640625 × 212)
    floor (0.2242431640625 × 4096)
    floor (918.5)     		tx = 918
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1685791015625 × 212)
    floor (0.1685791015625 × 4096)
    floor (690.5)     		ty = 690
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 918 / 690 ti = "12/918/690"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/918/690.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 918 ÷ 212
    918 ÷ 4096     		x = 0.22412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 690 ÷ 212
    690 ÷ 4096     		y = 0.16845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22412109375 × 2 - 1) × π
    -0.5517578125 × 3.1415926535     		Λ = -1.73339829
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16845703125 × 2 - 1) × π
    0.6630859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.08314590988916
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.73339829} λ = -1.73339829}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08314590988916))-π/2
    2×atan(8.02968990288955)-π/2
    2×1.44689643693626-π/2
    2.89379287387251-1.57079632675     		φ = 1.32299655
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.73339829} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.316406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32299655 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.802119°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 918 KachelY 690 -1.73339829 1.32299655 -99.316406 75.802119
    Oben rechts KachelX + 1 919 KachelY 690 -1.73186431 1.32299655 -99.228516 75.802119
    Unten links KachelX 918 KachelY + 1 691 -1.73339829 1.32262003 -99.316406 75.780546
    Unten rechts KachelX + 1 919 KachelY + 1 691 -1.73186431 1.32262003 -99.228516 75.780546
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32299655-1.32262003) × R
    0.000376520000000102 × 6371000     		dl = 2398.80892000065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32299655-1.32262003) × R
    0.000376520000000102 × 6371000     		dr = 2398.80892000065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.73339829--1.73186431) × cos(1.32299655) × R
    0.00153398000000005 × 0.245271538541748 × 6371000     		do = 2397.03545462453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.73339829--1.73186431) × cos(1.32262003) × R
    0.00153398000000005 × 0.245636540125584 × 6371000     		du = 2400.60261020504m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32299655)-sin(1.32262003))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.245271538541748-0.245636540125584)×R²
    abs(-1.73186431--1.73339829)×0.000365001583836122×R²
    0.00153398000000005×0.000365001583836122×6371000²
    0.00153398000000005×0.000365001583836122×40589641000000     		ar = 5754308.5604028m²