Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 918 / 684
↖ ↑ ↗
← N 75.930885°
W 99.316406°		 ← 2 375.74 m → N 75.930885°
W 99.228516°		 →
↑
2 377.47 m
↓
↑
2 377.47 m
↓
N 75.909504°
W 99.316406°		 ← 2 379.27 m →
5 652 438 m²		 N 75.909504°
W 99.228516°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 918 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 684 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2242431640625 y=0.1671142578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2242431640625 × 212)
    floor (0.2242431640625 × 4096)
    floor (918.5)     		tx = 918
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1671142578125 × 212)
    floor (0.1671142578125 × 4096)
    floor (684.5)     		ty = 684
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 918 / 684 ti = "12/918/684"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/918/684.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 918 ÷ 212
    918 ÷ 4096     		x = 0.22412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 684 ÷ 212
    684 ÷ 4096     		y = 0.1669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22412109375 × 2 - 1) × π
    -0.5517578125 × 3.1415926535     		Λ = -1.73339829
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1669921875 × 2 - 1) × π
    0.666015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.09234979461621
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.73339829} λ = -1.73339829}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09234979461621))-π/2
    2×atan(8.10393539249383)-π/2
    2×1.44802014076313-π/2
    2.89604028152626-1.57079632675     		φ = 1.32524395
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.73339829} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.316406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32524395 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.930885°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 918 KachelY 684 -1.73339829 1.32524395 -99.316406 75.930885
    Oben rechts KachelX + 1 919 KachelY 684 -1.73186431 1.32524395 -99.228516 75.930885
    Unten links KachelX 918 KachelY + 1 685 -1.73339829 1.32487078 -99.316406 75.909504
    Unten rechts KachelX + 1 919 KachelY + 1 685 -1.73186431 1.32487078 -99.228516 75.909504
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32524395-1.32487078) × R
    0.000373170000000034 × 6371000     		dl = 2377.46607000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32524395-1.32487078) × R
    0.000373170000000034 × 6371000     		dr = 2377.46607000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.73339829--1.73186431) × cos(1.32524395) × R
    0.00153398000000005 × 0.243092169103092 × 6371000     		do = 2375.73650634768m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.73339829--1.73186431) × cos(1.32487078) × R
    0.00153398000000005 × 0.243454128260775 × 6371000     		du = 2379.27392833823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32524395)-sin(1.32487078))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.243092169103092-0.243454128260775)×R²
    abs(-1.73186431--1.73339829)×0.000361959157683639×R²
    0.00153398000000005×0.000361959157683639×6371000²
    0.00153398000000005×0.000361959157683639×40589641000000     		ar = 5652438.05107586m²