Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9178 / 17182
↖ ↑ ↗
← S  8.733077°
W 79.167480°		 ← 1 207.41 m → S  8.733077°
W 79.156494°		 →
↑
1 207.50 m
↓
↑
1 207.50 m
↓
S  8.743936°
W 79.167480°		 ← 1 207.38 m →
1 457 925 m²		 S  8.743936°
W 79.156494°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9178 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17182 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.280105590820312 y=0.524368286132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.280105590820312 × 215)
    floor (0.280105590820312 × 32768)
    floor (9178.5)     		tx = 9178
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524368286132812 × 215)
    floor (0.524368286132812 × 32768)
    floor (17182.5)     		ty = 17182
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9178 / 17182 ti = "15/9178/17182"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9178/17182.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9178 ÷ 215
    9178 ÷ 32768     		x = 0.28009033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17182 ÷ 215
    17182 ÷ 32768     		y = 0.52435302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.28009033203125 × 2 - 1) × π
    -0.4398193359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.38173319
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52435302734375 × 2 - 1) × π
    -0.0487060546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.153014583587219
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38173319} λ = -1.38173319}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.153014583587219))-π/2
    2×atan(0.858117207293004)-π/2
    2×0.709187685983751-π/2
    1.4183753719675-1.57079632675     		φ = -0.15242095
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38173319} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.167480°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15242095 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.733077°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9178 KachelY 17182 -1.38173319 -0.15242095 -79.167480 -8.733077
    Oben rechts KachelX + 1 9179 KachelY 17182 -1.38154145 -0.15242095 -79.156494 -8.733077
    Unten links KachelX 9178 KachelY + 1 17183 -1.38173319 -0.15261048 -79.167480 -8.743936
    Unten rechts KachelX + 1 9179 KachelY + 1 17183 -1.38154145 -0.15261048 -79.156494 -8.743936
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15242095--0.15261048) × R
    0.000189529999999993 × 6371000     		dl = 1207.49562999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15242095--0.15261048) × R
    0.000189529999999993 × 6371000     		dr = 1207.49562999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38173319--1.38154145) × cos(-0.15242095) × R
    0.000191739999999996 × 0.988406398450945 × 6371000     		do = 1207.41307992714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38173319--1.38154145) × cos(-0.15261048) × R
    0.000191739999999996 × 0.988377604082388 × 6371000     		du = 1207.37790543082m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15242095)-sin(-0.15261048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988406398450945-0.988377604082388)×R²
    abs(-1.38154145--1.38173319)×2.87943685567393e-05×R²
    0.000191739999999996×2.87943685567393e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.87943685567393e-05×40589641000000     		ar = 1457924.78545564m²