Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9177 / 25914
↖ ↑ ↗
← S 71.725773°
W 79.178467°		 ← 383.06 m → S 71.725773°
W 79.167480°		 →
↑
383.02 m
↓
↑
383.02 m
↓
S 71.729218°
W 79.178467°		 ← 382.99 m →
146 709 m²		 S 71.729218°
W 79.167480°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9177 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25914 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.280075073242188 y=0.790847778320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.280075073242188 × 215)
    floor (0.280075073242188 × 32768)
    floor (9177.5)     		tx = 9177
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.790847778320312 × 215)
    floor (0.790847778320312 × 32768)
    floor (25914.5)     		ty = 25914
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9177 / 25914 ti = "15/9177/25914"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9177/25914.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9177 ÷ 215
    9177 ÷ 32768     		x = 0.280059814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25914 ÷ 215
    25914 ÷ 32768     		y = 0.79083251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.280059814453125 × 2 - 1) × π
    -0.43988037109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.38192494
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79083251953125 × 2 - 1) × π
    -0.5816650390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.82735461351654
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38192494} λ = -1.38192494}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.82735461351654))-π/2
    2×atan(0.160838485447061)-π/2
    2×0.159472711087781-π/2
    0.318945422175562-1.57079632675     		φ = -1.25185090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38192494} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.178467°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25185090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.725773°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9177 KachelY 25914 -1.38192494 -1.25185090 -79.178467 -71.725773
    Oben rechts KachelX + 1 9178 KachelY 25914 -1.38173319 -1.25185090 -79.167480 -71.725773
    Unten links KachelX 9177 KachelY + 1 25915 -1.38192494 -1.25191102 -79.178467 -71.729218
    Unten rechts KachelX + 1 9178 KachelY + 1 25915 -1.38173319 -1.25191102 -79.167480 -71.729218
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25185090--1.25191102) × R
    6.01200000001079e-05 × 6371000     		dl = 383.024520000687m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25185090--1.25191102) × R
    6.01200000001079e-05 × 6371000     		dr = 383.024520000687m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38192494--1.38173319) × cos(-1.25185090) × R
    0.000191749999999935 × 0.313565347645823 × 6371000     		do = 383.063736123903m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38192494--1.38173319) × cos(-1.25191102) × R
    0.000191749999999935 × 0.313508259133766 × 6371000     		du = 382.99399455685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25185090)-sin(-1.25191102))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.313565347645823-0.313508259133766)×R²
    abs(-1.38173319--1.38192494)×5.70885120572684e-05×R²
    0.000191749999999935×5.70885120572684e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.70885120572684e-05×40589641000000     		ar = 146709.447337207m²