Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 9176 / 25912
↖ ↑ ↗
← S 71.718882°
W 79.189453°		 ← 383.20 m → S 71.718882°
W 79.178467°		 →
↑
383.15 m
↓
↑
383.15 m
↓
S 71.722328°
W 79.189453°		 ← 383.13 m →
146 812 m²		 S 71.722328°
W 79.178467°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25912 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.280044555664062 y=0.790786743164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.280044555664062 × 215)
    floor (0.280044555664062 × 32768)
    floor (9176.5)     		tx = 9176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.790786743164062 × 215)
    floor (0.790786743164062 × 32768)
    floor (25912.5)     		ty = 25912
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9176 / 25912 ti = "15/9176/25912"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9176/25912.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9176 ÷ 215
    9176 ÷ 32768     		x = 0.280029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25912 ÷ 215
    25912 ÷ 32768     		y = 0.790771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.280029296875 × 2 - 1) × π
    -0.43994140625 × 3.1415926535     		Λ = -1.38211669
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.790771484375 × 2 - 1) × π
    -0.58154296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.82697111831958
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38211669} λ = -1.38211669}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.82697111831958))-π/2
    2×atan(0.160900178062371)-π/2
    2×0.159532847437962-π/2
    0.319065694875924-1.57079632675     		φ = -1.25173063
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38211669} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.189453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25173063 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.718882°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9176 KachelY 25912 -1.38211669 -1.25173063 -79.189453 -71.718882
    Oben rechts KachelX + 1 9177 KachelY 25912 -1.38192494 -1.25173063 -79.178467 -71.718882
    Unten links KachelX 9176 KachelY + 1 25913 -1.38211669 -1.25179077 -79.189453 -71.722328
    Unten rechts KachelX + 1 9177 KachelY + 1 25913 -1.38192494 -1.25179077 -79.178467 -71.722328
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25173063--1.25179077) × R
    6.01399999999863e-05 × 6371000     		dl = 383.151939999913m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25173063--1.25179077) × R
    6.01399999999863e-05 × 6371000     		dr = 383.151939999913m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38211669--1.38192494) × cos(-1.25173063) × R
    0.000191749999999935 × 0.313679549755533 × 6371000     		do = 383.203249903558m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38211669--1.38192494) × cos(-1.25179077) × R
    0.000191749999999935 × 0.313622444520003 × 6371000     		du = 383.133487906453m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25173063)-sin(-1.25179077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.313679549755533-0.313622444520003)×R²
    abs(-1.38192494--1.38211669)×5.71052355302082e-05×R²
    0.000191749999999935×5.71052355302082e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.71052355302082e-05×40589641000000     		ar = 146811.703936694m²