Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9176 / 11287
↖ ↑ ↗
← N 75.465484°
W129.594726°		 ← 153.29 m → N 75.465484°
W129.589234°		 →
↑
153.29 m
↓
↑
153.29 m
↓
N 75.464105°
W129.594726°		 ← 153.30 m →
23 498 m²		 N 75.464105°
W129.589234°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.140022277832031 y=0.172233581542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.140022277832031 × 216)
    floor (0.140022277832031 × 65536)
    floor (9176.5)     		tx = 9176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.172233581542969 × 216)
    floor (0.172233581542969 × 65536)
    floor (11287.5)     		ty = 11287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9176 / 11287 ti = "16/9176/11287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9176/11287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9176 ÷ 216
    9176 ÷ 65536     		x = 0.1400146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11287 ÷ 216
    11287 ÷ 65536     		y = 0.172225952148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1400146484375 × 2 - 1) × π
    -0.719970703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.26185467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.172225952148438 × 2 - 1) × π
    0.655548095703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.05946508147685
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.26185467} λ = -2.26185467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05946508147685))-π/2
    2×atan(7.8417739780491)-π/2
    2×1.44395874492162-π/2
    2.88791748984323-1.57079632675     		φ = 1.31712116
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.26185467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.594726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31712116 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.465484°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9176 KachelY 11287 -2.26185467 1.31712116 -129.594726 75.465484
    Oben rechts KachelX + 1 9177 KachelY 11287 -2.26175880 1.31712116 -129.589234 75.465484
    Unten links KachelX 9176 KachelY + 1 11288 -2.26185467 1.31709710 -129.594726 75.464105
    Unten rechts KachelX + 1 9177 KachelY + 1 11288 -2.26175880 1.31709710 -129.589234 75.464105
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31712116-1.31709710) × R
    2.40599999998814e-05 × 6371000     		dl = 153.286259999244m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31712116-1.31709710) × R
    2.40599999998814e-05 × 6371000     		dr = 153.286259999244m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.26185467--2.26175880) × cos(1.31712116) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.250963195175515 × 6371000     		do = 153.285250333324m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.26185467--2.26175880) × cos(1.31709710) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.250986485101779 × 6371000     		du = 153.29947553545m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31712116)-sin(1.31709710))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250963195175515-0.250986485101779)×R²
    abs(-2.26175880--2.26185467)×2.32899262634922e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.32899262634922e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.32899262634922e-05×40589641000000     		ar = 23497.6130021069m²