Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9174 / 11286
↖ ↑ ↗
← N 75.466862°
W129.605713°		 ← 153.27 m → N 75.466862°
W129.600220°		 →
↑
153.29 m
↓
↑
153.29 m
↓
N 75.465484°
W129.605713°		 ← 153.29 m →
23 495 m²		 N 75.465484°
W129.600220°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9174 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11286 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.139991760253906 y=0.172218322753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.139991760253906 × 216)
    floor (0.139991760253906 × 65536)
    floor (9174.5)     		tx = 9174
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.172218322753906 × 216)
    floor (0.172218322753906 × 65536)
    floor (11286.5)     		ty = 11286
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9174 / 11286 ti = "16/9174/11286"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9174/11286.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9174 ÷ 216
    9174 ÷ 65536     		x = 0.139984130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11286 ÷ 216
    11286 ÷ 65536     		y = 0.172210693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.139984130859375 × 2 - 1) × π
    -0.72003173828125 × 3.1415926535     		Λ = -2.26204642
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.172210693359375 × 2 - 1) × π
    0.65557861328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.05956095527609
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.26204642} λ = -2.26204642}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05956095527609))-π/2
    2×atan(7.84252583475427)-π/2
    2×1.44397077476074-π/2
    2.88794154952149-1.57079632675     		φ = 1.31714522
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.26204642} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.605713°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31714522 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.466862°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9174 KachelY 11286 -2.26204642 1.31714522 -129.605713 75.466862
    Oben rechts KachelX + 1 9175 KachelY 11286 -2.26195055 1.31714522 -129.600220 75.466862
    Unten links KachelX 9174 KachelY + 1 11287 -2.26204642 1.31712116 -129.605713 75.465484
    Unten rechts KachelX + 1 9175 KachelY + 1 11287 -2.26195055 1.31712116 -129.600220 75.465484
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31714522-1.31712116) × R
    2.40600000001034e-05 × 6371000     		dl = 153.286260000659m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31714522-1.31712116) × R
    2.40600000001034e-05 × 6371000     		dr = 153.286260000659m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.26204642--2.26195055) × cos(1.31714522) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.250939905103973 × 6371000     		do = 153.271025042464m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.26204642--2.26195055) × cos(1.31712116) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.250963195175515 × 6371000     		du = 153.285250333324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31714522)-sin(1.31712116))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250939905103973-0.250963195175515)×R²
    abs(-2.26195055--2.26204642)×2.32900715421702e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.32900715421702e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.32900715421702e-05×40589641000000     		ar = 23495.4324670661m²