Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9173 / 7122
↖ ↑ ↗
← N 70.779678°
W 79.222412°		 ← 402.14 m → N 70.779678°
W 79.211426°		 →
↑
402.20 m
↓
↑
402.20 m
↓
N 70.776061°
W 79.222412°		 ← 402.22 m →
161 758 m²		 N 70.776061°
W 79.211426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9173 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7122 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279953002929688 y=0.217361450195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279953002929688 × 215)
    floor (0.279953002929688 × 32768)
    floor (9173.5)     		tx = 9173
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217361450195312 × 215)
    floor (0.217361450195312 × 32768)
    floor (7122.5)     		ty = 7122
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9173 / 7122 ti = "15/9173/7122"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9173/7122.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9173 ÷ 215
    9173 ÷ 32768     		x = 0.279937744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7122 ÷ 215
    7122 ÷ 32768     		y = 0.21734619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.279937744140625 × 2 - 1) × π
    -0.44012451171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.38269193
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21734619140625 × 2 - 1) × π
    0.5653076171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.77596625712384
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38269193} λ = -1.38269193}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77596625712384))-π/2
    2×atan(5.9059850802941)-π/2
    2×1.40306737322365-π/2
    2.8061347464473-1.57079632675     		φ = 1.23533842
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38269193} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.222412°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23533842 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.779678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9173 KachelY 7122 -1.38269193 1.23533842 -79.222412 70.779678
    Oben rechts KachelX + 1 9174 KachelY 7122 -1.38250019 1.23533842 -79.211426 70.779678
    Unten links KachelX 9173 KachelY + 1 7123 -1.38269193 1.23527529 -79.222412 70.776061
    Unten rechts KachelX + 1 9174 KachelY + 1 7123 -1.38250019 1.23527529 -79.211426 70.776061
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23533842-1.23527529) × R
    6.31300000000223e-05 × 6371000     		dl = 402.201230000142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23533842-1.23527529) × R
    6.31300000000223e-05 × 6371000     		dr = 402.201230000142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38269193--1.38250019) × cos(1.23533842) × R
    0.000191739999999996 × 0.329201587288807 × 6371000     		do = 402.144606761173m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38269193--1.38250019) × cos(1.23527529) × R
    0.000191739999999996 × 0.329261197745419 × 6371000     		du = 402.217425436898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23533842)-sin(1.23527529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329201587288807-0.329261197745419)×R²
    abs(-1.38250019--1.38269193)×5.96104566117361e-05×R²
    0.000191739999999996×5.96104566117361e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.96104566117361e-05×40589641000000     		ar = 161757.699411311m²