Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9170 / 25917
↖ ↑ ↗
← S 71.736105°
W 79.255371°		 ← 382.85 m → S 71.736105°
W 79.244385°		 →
↑
382.83 m
↓
↑
382.83 m
↓
S 71.739548°
W 79.255371°		 ← 382.78 m →
146 556 m²		 S 71.739548°
W 79.244385°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9170 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25917 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279861450195312 y=0.790939331054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279861450195312 × 215)
    floor (0.279861450195312 × 32768)
    floor (9170.5)     		tx = 9170
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.790939331054688 × 215)
    floor (0.790939331054688 × 32768)
    floor (25917.5)     		ty = 25917
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9170 / 25917 ti = "15/9170/25917"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9170/25917.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9170 ÷ 215
    9170 ÷ 32768     		x = 0.27984619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25917 ÷ 215
    25917 ÷ 32768     		y = 0.790924072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27984619140625 × 2 - 1) × π
    -0.4403076171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.38326718
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.790924072265625 × 2 - 1) × π
    -0.58184814453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.82792985631198
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38326718} λ = -1.38326718}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.82792985631198))-π/2
    2×atan(0.160745990873048)-π/2
    2×0.159382547613266-π/2
    0.318765095226531-1.57079632675     		φ = -1.25203123
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38326718} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.255371°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25203123 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.736105°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9170 KachelY 25917 -1.38326718 -1.25203123 -79.255371 -71.736105
    Oben rechts KachelX + 1 9171 KachelY 25917 -1.38307543 -1.25203123 -79.244385 -71.736105
    Unten links KachelX 9170 KachelY + 1 25918 -1.38326718 -1.25209132 -79.255371 -71.739548
    Unten rechts KachelX + 1 9171 KachelY + 1 25918 -1.38307543 -1.25209132 -79.244385 -71.739548
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25203123--1.25209132) × R
    6.00899999998461e-05 × 6371000     		dl = 382.83338999902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25203123--1.25209132) × R
    6.00899999998461e-05 × 6371000     		dr = 382.83338999902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38326718--1.38307543) × cos(-1.25203123) × R
    0.000191749999999935 × 0.313394107199107 × 6371000     		do = 382.854542073006m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38326718--1.38307543) × cos(-1.25209132) × R
    0.000191749999999935 × 0.313337043778047 × 6371000     		du = 382.784831158101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25203123)-sin(-1.25209132))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.313394107199107-0.313337043778047)×R²
    abs(-1.38307543--1.38326718)×5.70634210594334e-05×R²
    0.000191749999999935×5.70634210594334e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.70634210594334e-05×40589641000000     		ar = 146556.158428844m²