Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 917 / 685
↖ ↑ ↗
← N 75.909504°
W 99.404297°		 ← 2 379.27 m → N 75.909504°
W 99.316406°		 →
↑
2 381.03 m
↓
↑
2 381.03 m
↓
N 75.888091°
W 99.404297°		 ← 2 382.82 m →
5 669 349 m²		 N 75.888091°
W 99.316406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 917 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 685 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2239990234375 y=0.1673583984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2239990234375 × 212)
    floor (0.2239990234375 × 4096)
    floor (917.5)     		tx = 917
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1673583984375 × 212)
    floor (0.1673583984375 × 4096)
    floor (685.5)     		ty = 685
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 917 / 685 ti = "12/917/685"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/917/685.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 917 ÷ 212
    917 ÷ 4096     		x = 0.223876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 685 ÷ 212
    685 ÷ 4096     		y = 0.167236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.223876953125 × 2 - 1) × π
    -0.55224609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.73493227
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.167236328125 × 2 - 1) × π
    0.66552734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.09081581382837
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.73493227} λ = -1.73493227}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09081581382837))-π/2
    2×atan(8.09151364109563)-π/2
    2×1.44783355262844-π/2
    2.89566710525688-1.57079632675     		φ = 1.32487078
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.73493227} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.404297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32487078 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.909504°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 917 KachelY 685 -1.73493227 1.32487078 -99.404297 75.909504
    Oben rechts KachelX + 1 918 KachelY 685 -1.73339829 1.32487078 -99.316406 75.909504
    Unten links KachelX 917 KachelY + 1 686 -1.73493227 1.32449705 -99.404297 75.888091
    Unten rechts KachelX + 1 918 KachelY + 1 686 -1.73339829 1.32449705 -99.316406 75.888091
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32487078-1.32449705) × R
    0.000373729999999961 × 6371000     		dl = 2381.03382999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32487078-1.32449705) × R
    0.000373729999999961 × 6371000     		dr = 2381.03382999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.73493227--1.73339829) × cos(1.32487078) × R
    0.00153398000000005 × 0.243454128260775 × 6371000     		do = 2379.27392833823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.73493227--1.73339829) × cos(1.32449705) × R
    0.00153398000000005 × 0.243816596616047 × 6371000     		du = 2382.81632670997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32487078)-sin(1.32449705))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.243454128260775-0.243816596616047)×R²
    abs(-1.73339829--1.73493227)×0.000362468355271622×R²
    0.00153398000000005×0.000362468355271622×6371000²
    0.00153398000000005×0.000362468355271622×40589641000000     		ar = 5669349.06537911m²