Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 917 / 589
↖ ↑ ↗
← N 60.500526°
W 18.808594°		 ← 9 624.74 m → N 60.500526°
W 18.632813°		 →
↑
9 637.60 m
↓
↑
9 637.60 m
↓
N 60.413853°
W 18.808594°		 ← 9 650.47 m →
92 883 412 m²		 N 60.413853°
W 18.632813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 917 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 589 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447998046875 y=0.287841796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447998046875 × 211)
    floor (0.447998046875 × 2048)
    floor (917.5)     		tx = 917
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.287841796875 × 211)
    floor (0.287841796875 × 2048)
    floor (589.5)     		ty = 589
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 917 / 589 ti = "11/917/589"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/917/589.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 917 ÷ 211
    917 ÷ 2048     		x = 0.44775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 589 ÷ 211
    589 ÷ 2048     		y = 0.28759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44775390625 × 2 - 1) × π
    -0.1044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32827189
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.28759765625 × 2 - 1) × π
    0.4248046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.33456328542236
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32827189} λ = -0.32827189}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.33456328542236))-π/2
    2×atan(3.79833679510866)-π/2
    2×1.31336484718801-π/2
    2.62672969437603-1.57079632675     		φ = 1.05593337
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32827189} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.808594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05593337 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.500526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 917 KachelY 589 -0.32827189 1.05593337 -18.808594 60.500526
    Oben rechts KachelX + 1 918 KachelY 589 -0.32520393 1.05593337 -18.632813 60.500526
    Unten links KachelX 917 KachelY + 1 590 -0.32827189 1.05442064 -18.808594 60.413853
    Unten rechts KachelX + 1 918 KachelY + 1 590 -0.32520393 1.05442064 -18.632813 60.413853
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05593337-1.05442064) × R
    0.00151272999999996 × 6371000     		dl = 9637.60282999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05593337-1.05442064) × R
    0.00151272999999996 × 6371000     		dr = 9637.60282999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32827189--0.32520393) × cos(1.05593337) × R
    0.00306796000000004 × 0.492415576707331 × 6371000     		do = 9624.74164588753m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32827189--0.32520393) × cos(1.05442064) × R
    0.00306796000000004 × 0.493731632799719 × 6371000     		du = 9650.4652429464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05593337)-sin(1.05442064))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.492415576707331-0.493731632799719)×R²
    abs(-0.32520393--0.32827189)×0.00131605609238827×R²
    0.00306796000000004×0.00131605609238827×6371000²
    0.00306796000000004×0.00131605609238827×40589641000000     		ar = 92883411.942835m²