Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 917 / 468
↖ ↑ ↗
← N 69.411243°
W 18.808594°		 ← 6 873.50 m → N 69.411243°
W 18.632813°		 →
↑
6 883.42 m
↓
↑
6 883.42 m
↓
N 69.349338°
W 18.808594°		 ← 6 893.26 m →
47 381 196 m²		 N 69.349338°
W 18.632813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 917 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 468 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447998046875 y=0.228759765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447998046875 × 211)
    floor (0.447998046875 × 2048)
    floor (917.5)     		tx = 917
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.228759765625 × 211)
    floor (0.228759765625 × 2048)
    floor (468.5)     		ty = 468
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 917 / 468 ti = "11/917/468"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/917/468.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 917 ÷ 211
    917 ÷ 2048     		x = 0.44775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 468 ÷ 211
    468 ÷ 2048     		y = 0.228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44775390625 × 2 - 1) × π
    -0.1044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32827189
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.228515625 × 2 - 1) × π
    0.54296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.70578663608008
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32827189} λ = -0.32827189}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70578663608008))-π/2
    2×atan(5.50571495823276)-π/2
    2×1.39112552190334-π/2
    2.78225104380667-1.57079632675     		φ = 1.21145472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32827189} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.808594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21145472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.411243°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 917 KachelY 468 -0.32827189 1.21145472 -18.808594 69.411243
    Oben rechts KachelX + 1 918 KachelY 468 -0.32520393 1.21145472 -18.632813 69.411243
    Unten links KachelX 917 KachelY + 1 469 -0.32827189 1.21037429 -18.808594 69.349338
    Unten rechts KachelX + 1 918 KachelY + 1 469 -0.32520393 1.21037429 -18.632813 69.349338
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21145472-1.21037429) × R
    0.00108043000000002 × 6371000     		dl = 6883.41953000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21145472-1.21037429) × R
    0.00108043000000002 × 6371000     		dr = 6883.41953000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32827189--0.32520393) × cos(1.21145472) × R
    0.00306796000000004 × 0.351657968858022 × 6371000     		do = 6873.49722079909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32827189--0.32520393) × cos(1.21037429) × R
    0.00306796000000004 × 0.352669184786511 × 6371000     		du = 6893.26242019632m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21145472)-sin(1.21037429))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.351657968858022-0.352669184786511)×R²
    abs(-0.32520393--0.32827189)×0.00101121592848991×R²
    0.00306796000000004×0.00101121592848991×6371000²
    0.00306796000000004×0.00101121592848991×40589641000000     		ar = 47381195.6979429m²