Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 917 / 458
↖ ↑ ↗
← N 70.020587°
W 18.808594°		 ← 6 678.52 m → N 70.020587°
W 18.632813°		 →
↑
6 688.15 m
↓
↑
6 688.15 m
↓
N 69.960439°
W 18.808594°		 ← 6 697.80 m →
44 731 389 m²		 N 69.960439°
W 18.632813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 917 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447998046875 y=0.223876953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447998046875 × 211)
    floor (0.447998046875 × 2048)
    floor (917.5)     		tx = 917
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223876953125 × 211)
    floor (0.223876953125 × 2048)
    floor (458.5)     		ty = 458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 917 / 458 ti = "11/917/458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/917/458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 917 ÷ 211
    917 ÷ 2048     		x = 0.44775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 458 ÷ 211
    458 ÷ 2048     		y = 0.2236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44775390625 × 2 - 1) × π
    -0.1044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32827189
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2236328125 × 2 - 1) × π
    0.552734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.73646625183691
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32827189} λ = -0.32827189}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73646625183691))-π/2
    2×atan(5.67724597638829)-π/2
    2×1.39644305968672-π/2
    2.79288611937344-1.57079632675     		φ = 1.22208979
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32827189} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.808594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22208979 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.020587°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 917 KachelY 458 -0.32827189 1.22208979 -18.808594 70.020587
    Oben rechts KachelX + 1 918 KachelY 458 -0.32520393 1.22208979 -18.632813 70.020587
    Unten links KachelX 917 KachelY + 1 459 -0.32827189 1.22104001 -18.808594 69.960439
    Unten rechts KachelX + 1 918 KachelY + 1 459 -0.32520393 1.22104001 -18.632813 69.960439
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22208979-1.22104001) × R
    0.00104978 × 6371000     		dl = 6688.14838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22208979-1.22104001) × R
    0.00104978 × 6371000     		dr = 6688.14838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32827189--0.32520393) × cos(1.22208979) × R
    0.00306796000000004 × 0.341682476912264 × 6371000     		do = 6678.51652296952m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32827189--0.32520393) × cos(1.22104001) × R
    0.00306796000000004 × 0.34266888792337 × 6371000     		du = 6697.79688611731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22208979)-sin(1.22104001))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341682476912264-0.34266888792337)×R²
    abs(-0.32520393--0.32827189)×0.000986411011105193×R²
    0.00306796000000004×0.000986411011105193×6371000²
    0.00306796000000004×0.000986411011105193×40589641000000     		ar = 44731388.5366489m²