Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9168 / 9520
↖ ↑ ↗
← S 27.994402°
E 21.445312°		 ← 2 157.40 m → S 27.994402°
E 21.467285°		 →
↑
2 157.16 m
↓
↑
2 157.16 m
↓
S 28.013801°
E 21.445312°		 ← 2 157.01 m →
4 653 429 m²		 S 28.013801°
E 21.467285°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9168 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9520 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559600830078125 y=0.581085205078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559600830078125 × 214)
    floor (0.559600830078125 × 16384)
    floor (9168.5)     		tx = 9168
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581085205078125 × 214)
    floor (0.581085205078125 × 16384)
    floor (9520.5)     		ty = 9520
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9168 / 9520 ti = "14/9168/9520"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9168/9520.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9168 ÷ 214
    9168 ÷ 16384     		x = 0.5595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9520 ÷ 214
    9520 ÷ 16384     		y = 0.5810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5595703125 × 2 - 1) × π
    0.119140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.37429131
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5810546875 × 2 - 1) × π
    -0.162109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.509281621563477
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37429131} λ = 0.37429131}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.509281621563477))-π/2
    2×atan(0.600927116872572)-π/2
    2×0.541100925030024-π/2
    1.08220185006005-1.57079632675     		φ = -0.48859448
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37429131} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.445312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48859448 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.994402°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9168 KachelY 9520 0.37429131 -0.48859448 21.445312 -27.994402
    Oben rechts KachelX + 1 9169 KachelY 9520 0.37467481 -0.48859448 21.467285 -27.994402
    Unten links KachelX 9168 KachelY + 1 9521 0.37429131 -0.48893307 21.445312 -28.013801
    Unten rechts KachelX + 1 9169 KachelY + 1 9521 0.37467481 -0.48893307 21.467285 -28.013801
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48859448--0.48893307) × R
    0.000338590000000027 × 6371000     		dl = 2157.15689000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48859448--0.48893307) × R
    0.000338590000000027 × 6371000     		dr = 2157.15689000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37429131-0.37467481) × cos(-0.48859448) × R
    0.000383500000000037 × 0.882993460972506 × 6371000     		do = 2157.39893883492m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37429131-0.37467481) × cos(-0.48893307) × R
    0.000383500000000037 × 0.882834481196543 × 6371000     		du = 2157.01050696637m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48859448)-sin(-0.48893307))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882993460972506-0.882834481196543)×R²
    abs(0.37467481-0.37429131)×0.00015897977596302×R²
    0.000383500000000037×0.00015897977596302×6371000²
    0.000383500000000037×0.00015897977596302×40589641000000     		ar = 4653429.07560315m²