Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9168 / 25712
↖ ↑ ↗
← S 71.016960°
W 79.277344°		 ← 397.38 m → S 71.016960°
W 79.266357°		 →
↑
397.36 m
↓
↑
397.36 m
↓
S 71.020533°
W 79.277344°		 ← 397.31 m →
157 890 m²		 S 71.020533°
W 79.266357°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9168 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25712 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279800415039062 y=0.784683227539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279800415039062 × 215)
    floor (0.279800415039062 × 32768)
    floor (9168.5)     		tx = 9168
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.784683227539062 × 215)
    floor (0.784683227539062 × 32768)
    floor (25712.5)     		ty = 25712
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9168 / 25712 ti = "15/9168/25712"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9168/25712.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9168 ÷ 215
    9168 ÷ 32768     		x = 0.27978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25712 ÷ 215
    25712 ÷ 32768     		y = 0.78466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27978515625 × 2 - 1) × π
    -0.4404296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.38365067
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78466796875 × 2 - 1) × π
    -0.5693359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.78862159862354
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38365067} λ = -1.38365067}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78862159862354))-π/2
    2×atan(0.167190466478982)-π/2
    2×0.165658277145481-π/2
    0.331316554290961-1.57079632675     		φ = -1.23947977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38365067} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.277344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23947977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.016960°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9168 KachelY 25712 -1.38365067 -1.23947977 -79.277344 -71.016960
    Oben rechts KachelX + 1 9169 KachelY 25712 -1.38345892 -1.23947977 -79.266357 -71.016960
    Unten links KachelX 9168 KachelY + 1 25713 -1.38365067 -1.23954214 -79.277344 -71.020533
    Unten rechts KachelX + 1 9169 KachelY + 1 25713 -1.38345892 -1.23954214 -79.266357 -71.020533
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23947977--1.23954214) × R
    6.23699999999783e-05 × 6371000     		dl = 397.359269999862m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23947977--1.23954214) × R
    6.23699999999783e-05 × 6371000     		dr = 397.359269999862m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38365067--1.38345892) × cos(-1.23947977) × R
    0.000191749999999935 × 0.325288265675305 × 6371000     		do = 397.384912913246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38365067--1.38345892) × cos(-1.23954214) × R
    0.000191749999999935 × 0.325229287041174 × 6371000     		du = 397.31286229888m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23947977)-sin(-1.23954214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325288265675305-0.325229287041174)×R²
    abs(-1.38345892--1.38365067)×5.89786341317344e-05×R²
    0.000191749999999935×5.89786341317344e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.89786341317344e-05×40589641000000     		ar = 157890.263965696m²