Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9168 / 11312
↖ ↑ ↗
← N 75.430979°
W129.638672°		 ← 153.64 m → N 75.430979°
W129.633179°		 →
↑
153.60 m
↓
↑
153.60 m
↓
N 75.429598°
W129.638672°		 ← 153.66 m →
23 601 m²		 N 75.429598°
W129.633179°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9168 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11312 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.139900207519531 y=0.172615051269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.139900207519531 × 216)
    floor (0.139900207519531 × 65536)
    floor (9168.5)     		tx = 9168
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.172615051269531 × 216)
    floor (0.172615051269531 × 65536)
    floor (11312.5)     		ty = 11312
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9168 / 11312 ti = "16/9168/11312"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9168/11312.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9168 ÷ 216
    9168 ÷ 65536     		x = 0.139892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11312 ÷ 216
    11312 ÷ 65536     		y = 0.172607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.139892578125 × 2 - 1) × π
    -0.72021484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.26262166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.172607421875 × 2 - 1) × π
    0.65478515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.05706823649585
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.26262166} λ = -2.26262166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05706823649585))-π/2
    2×atan(7.82300096843196)-π/2
    2×1.44365763583371-π/2
    2.88731527166742-1.57079632675     		φ = 1.31651894
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.26262166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.638672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31651894 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.430979°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9168 KachelY 11312 -2.26262166 1.31651894 -129.638672 75.430979
    Oben rechts KachelX + 1 9169 KachelY 11312 -2.26252579 1.31651894 -129.633179 75.430979
    Unten links KachelX 9168 KachelY + 1 11313 -2.26262166 1.31649483 -129.638672 75.429598
    Unten rechts KachelX + 1 9169 KachelY + 1 11313 -2.26252579 1.31649483 -129.633179 75.429598
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31651894-1.31649483) × R
    2.41100000000216e-05 × 6371000     		dl = 153.604810000138m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31651894-1.31649483) × R
    2.41100000000216e-05 × 6371000     		dr = 153.604810000138m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.26262166--2.26252579) × cos(1.31651894) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.251546096562204 × 6371000     		do = 153.64127937143m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.26262166--2.26252579) × cos(1.31649483) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.251569431239729 × 6371000     		du = 153.655531907079m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31651894)-sin(1.31649483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.251546096562204-0.251569431239729)×R²
    abs(-2.26252579--2.26262166)×2.33346775254106e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.33346775254106e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.33346775254106e-05×40589641000000     		ar = 23601.1341562376m²