Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9167 / 25711
↖ ↑ ↗
← S 71.013386°
W 79.288330°		 ← 397.46 m → S 71.013386°
W 79.277344°		 →
↑
397.42 m
↓
↑
397.42 m
↓
S 71.016960°
W 79.288330°		 ← 397.38 m →
157 944 m²		 S 71.016960°
W 79.277344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9167 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25711 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279769897460938 y=0.784652709960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279769897460938 × 215)
    floor (0.279769897460938 × 32768)
    floor (9167.5)     		tx = 9167
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.784652709960938 × 215)
    floor (0.784652709960938 × 32768)
    floor (25711.5)     		ty = 25711
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9167 / 25711 ti = "15/9167/25711"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9167/25711.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9167 ÷ 215
    9167 ÷ 32768     		x = 0.279754638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25711 ÷ 215
    25711 ÷ 32768     		y = 0.784637451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.279754638671875 × 2 - 1) × π
    -0.44049072265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.38384242
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.784637451171875 × 2 - 1) × π
    -0.56927490234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.78842985102505
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38384242} λ = -1.38384242}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78842985102505))-π/2
    2×atan(0.167222527923173)-π/2
    2×0.165689466594652-π/2
    0.331378933189305-1.57079632675     		φ = -1.23941739
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38384242} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.288330°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23941739 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.013386°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9167 KachelY 25711 -1.38384242 -1.23941739 -79.288330 -71.013386
    Oben rechts KachelX + 1 9168 KachelY 25711 -1.38365067 -1.23941739 -79.277344 -71.013386
    Unten links KachelX 9167 KachelY + 1 25712 -1.38384242 -1.23947977 -79.288330 -71.016960
    Unten rechts KachelX + 1 9168 KachelY + 1 25712 -1.38365067 -1.23947977 -79.277344 -71.016960
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23941739--1.23947977) × R
    6.23799999999175e-05 × 6371000     		dl = 397.422979999474m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23941739--1.23947977) × R
    6.23799999999175e-05 × 6371000     		dr = 397.422979999474m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38384242--1.38365067) × cos(-1.23941739) × R
    0.000191749999999935 × 0.325347252500006 × 6371000     		do = 397.456973533534m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38384242--1.38365067) × cos(-1.23947977) × R
    0.000191749999999935 × 0.325288265675305 × 6371000     		du = 397.384912913246m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23941739)-sin(-1.23947977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325347252500006-0.325288265675305)×R²
    abs(-1.38365067--1.38384242)×5.89868247009573e-05×R²
    0.000191749999999935×5.89868247009573e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.89868247009573e-05×40589641000000     		ar = 157944.21562101m²