Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9166 / 25710
↖ ↑ ↗
← S 71.009811°
W 79.299317°		 ← 397.53 m → S 71.009811°
W 79.288330°		 →
↑
397.49 m
↓
↑
397.49 m
↓
S 71.013386°
W 79.299317°		 ← 397.46 m →
157 998 m²		 S 71.013386°
W 79.288330°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9166 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25710 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279739379882812 y=0.784622192382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279739379882812 × 215)
    floor (0.279739379882812 × 32768)
    floor (9166.5)     		tx = 9166
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.784622192382812 × 215)
    floor (0.784622192382812 × 32768)
    floor (25710.5)     		ty = 25710
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9166 / 25710 ti = "15/9166/25710"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9166/25710.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9166 ÷ 215
    9166 ÷ 32768     		x = 0.27972412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25710 ÷ 215
    25710 ÷ 32768     		y = 0.78460693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27972412109375 × 2 - 1) × π
    -0.4405517578125 × 3.1415926535     		Λ = -1.38403417
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78460693359375 × 2 - 1) × π
    -0.5692138671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.78823810342657
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38403417} λ = -1.38403417}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78823810342657))-π/2
    2×atan(0.167254595515657)-π/2
    2×0.165720661699467-π/2
    0.331441323398934-1.57079632675     		φ = -1.23935500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38403417} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.299317°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23935500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.009811°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9166 KachelY 25710 -1.38403417 -1.23935500 -79.299317 -71.009811
    Oben rechts KachelX + 1 9167 KachelY 25710 -1.38384242 -1.23935500 -79.288330 -71.009811
    Unten links KachelX 9166 KachelY + 1 25711 -1.38403417 -1.23941739 -79.299317 -71.013386
    Unten rechts KachelX + 1 9167 KachelY + 1 25711 -1.38384242 -1.23941739 -79.288330 -71.013386
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23935500--1.23941739) × R
    6.23900000000788e-05 × 6371000     		dl = 397.486690000502m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23935500--1.23941739) × R
    6.23900000000788e-05 × 6371000     		dr = 397.486690000502m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38403417--1.38384242) × cos(-1.23935500) × R
    0.000191750000000157 × 0.325406247514438 × 6371000     		do = 397.529044159179m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38403417--1.38384242) × cos(-1.23941739) × R
    0.000191750000000157 × 0.325347252500006 × 6371000     		du = 397.456973533994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23935500)-sin(-1.23941739))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325406247514438-0.325347252500006)×R²
    abs(-1.38384242--1.38403417)×5.89950144320173e-05×R²
    0.000191750000000157×5.89950144320173e-05×6371000²
    0.000191750000000157×5.89950144320173e-05×40589641000000     		ar = 157998.18043579m²