Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9165 / 9550
↖ ↑ ↗
← S 28.574874°
E 21.379395°		 ← 2 145.61 m → S 28.574874°
E 21.401367°		 →
↑
2 145.43 m
↓
↑
2 145.43 m
↓
S 28.594169°
E 21.379395°		 ← 2 145.22 m →
4 602 851 m²		 S 28.594169°
E 21.401367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9165 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9550 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559417724609375 y=0.582916259765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559417724609375 × 214)
    floor (0.559417724609375 × 16384)
    floor (9165.5)     		tx = 9165
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582916259765625 × 214)
    floor (0.582916259765625 × 16384)
    floor (9550.5)     		ty = 9550
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9165 / 9550 ti = "14/9165/9550"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9165/9550.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9165 ÷ 214
    9165 ÷ 16384     		x = 0.55938720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9550 ÷ 214
    9550 ÷ 16384     		y = 0.5828857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55938720703125 × 2 - 1) × π
    0.1187744140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.37314083
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5828857421875 × 2 - 1) × π
    -0.165771484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.52078647747229
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37314083} λ = 0.37314083}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.52078647747229))-π/2
    2×atan(0.594053154773604)-π/2
    2×0.53603534566867-π/2
    1.07207069133734-1.57079632675     		φ = -0.49872564
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37314083} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.379395°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49872564 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.574874°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9165 KachelY 9550 0.37314083 -0.49872564 21.379395 -28.574874
    Oben rechts KachelX + 1 9166 KachelY 9550 0.37352432 -0.49872564 21.401367 -28.574874
    Unten links KachelX 9165 KachelY + 1 9551 0.37314083 -0.49906239 21.379395 -28.594169
    Unten rechts KachelX + 1 9166 KachelY + 1 9551 0.37352432 -0.49906239 21.401367 -28.594169
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49872564--0.49906239) × R
    0.000336749999999997 × 6371000     		dl = 2145.43424999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49872564--0.49906239) × R
    0.000336749999999997 × 6371000     		dr = 2145.43424999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37314083-0.37352432) × cos(-0.49872564) × R
    0.000383490000000042 × 0.87819280986033 × 6371000     		do = 2145.61366152265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37314083-0.37352432) × cos(-0.49906239) × R
    0.000383490000000042 × 0.878031690256884 × 6371000     		du = 2145.22001172455m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49872564)-sin(-0.49906239))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87819280986033-0.878031690256884)×R²
    abs(0.37352432-0.37314083)×0.000161119603446225×R²
    0.000383490000000042×0.000161119603446225×6371000²
    0.000383490000000042×0.000161119603446225×40589641000000     		ar = 4602850.80531571m²