Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9164 / 9548
↖ ↑ ↗
← S 28.536275°
E 21.357422°		 ← 2 146.46 m → S 28.536275°
E 21.379395°		 →
↑
2 146.20 m
↓
↑
2 146.20 m
↓
S 28.555576°
E 21.357422°		 ← 2 146.06 m →
4 606 300 m²		 S 28.555576°
E 21.379395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559356689453125 y=0.582794189453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559356689453125 × 214)
    floor (0.559356689453125 × 16384)
    floor (9164.5)     		tx = 9164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582794189453125 × 214)
    floor (0.582794189453125 × 16384)
    floor (9548.5)     		ty = 9548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9164 / 9548 ti = "14/9164/9548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9164/9548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9164 ÷ 214
    9164 ÷ 16384     		x = 0.559326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9548 ÷ 214
    9548 ÷ 16384     		y = 0.582763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.559326171875 × 2 - 1) × π
    0.11865234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.37275733
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582763671875 × 2 - 1) × π
    -0.16552734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.520019487078369
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37275733} λ = 0.37275733}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.520019487078369))-π/2
    2×atan(0.594508962614567)-π/2
    2×0.536372190151669-π/2
    1.07274438030334-1.57079632675     		φ = -0.49805195
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37275733} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.357422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49805195 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.536275°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9164 KachelY 9548 0.37275733 -0.49805195 21.357422 -28.536275
    Oben rechts KachelX + 1 9165 KachelY 9548 0.37314083 -0.49805195 21.379395 -28.536275
    Unten links KachelX 9164 KachelY + 1 9549 0.37275733 -0.49838882 21.357422 -28.555576
    Unten rechts KachelX + 1 9165 KachelY + 1 9549 0.37314083 -0.49838882 21.379395 -28.555576
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49805195--0.49838882) × R
    0.000336869999999989 × 6371000     		dl = 2146.19876999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49805195--0.49838882) × R
    0.000336869999999989 × 6371000     		dr = 2146.19876999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37275733-0.37314083) × cos(-0.49805195) × R
    0.000383499999999981 × 0.878514841052166 × 6371000     		do = 2146.45642307357m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37275733-0.37314083) × cos(-0.49838882) × R
    0.000383499999999981 × 0.878353863336989 × 6371000     		du = 2146.0631096831m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49805195)-sin(-0.49838882))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878514841052166-0.878353863336989)×R²
    abs(0.37314083-0.37275733)×0.000160977715177091×R²
    0.000383499999999981×0.000160977715177091×6371000²
    0.000383499999999981×0.000160977715177091×40589641000000     		ar = 4606300.11426234m²