Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9161 / 9533
↖ ↑ ↗
← S 28.246328°
E 21.291504°		 ← 2 152.28 m → S 28.246328°
E 21.313477°		 →
↑
2 152.12 m
↓
↑
2 152.12 m
↓
S 28.265682°
E 21.291504°		 ← 2 151.89 m →
4 631 551 m²		 S 28.265682°
E 21.313477°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9533 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559173583984375 y=0.581878662109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559173583984375 × 214)
    floor (0.559173583984375 × 16384)
    floor (9161.5)     		tx = 9161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581878662109375 × 214)
    floor (0.581878662109375 × 16384)
    floor (9533.5)     		ty = 9533
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9161 / 9533 ti = "14/9161/9533"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9161/9533.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9161 ÷ 214
    9161 ÷ 16384     		x = 0.55914306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9533 ÷ 214
    9533 ÷ 16384     		y = 0.58184814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55914306640625 × 2 - 1) × π
    0.1182861328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.37160685
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58184814453125 × 2 - 1) × π
    -0.1636962890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.514267059123962
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37160685} λ = 0.37160685}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.514267059123962))-π/2
    2×atan(0.597938687756062)-π/2
    2×0.538902451057437-π/2
    1.07780490211487-1.57079632675     		φ = -0.49299142
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37160685} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.291504°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49299142 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.246328°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9161 KachelY 9533 0.37160685 -0.49299142 21.291504 -28.246328
    Oben rechts KachelX + 1 9162 KachelY 9533 0.37199034 -0.49299142 21.313477 -28.246328
    Unten links KachelX 9161 KachelY + 1 9534 0.37160685 -0.49332922 21.291504 -28.265682
    Unten rechts KachelX + 1 9162 KachelY + 1 9534 0.37199034 -0.49332922 21.313477 -28.265682
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49299142--0.49332922) × R
    0.000337799999999999 × 6371000     		dl = 2152.12379999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49299142--0.49332922) × R
    0.000337799999999999 × 6371000     		dr = 2152.12379999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37160685-0.37199034) × cos(-0.49299142) × R
    0.000383489999999986 × 0.880921073199276 × 6371000     		do = 2152.27939486307m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37160685-0.37199034) × cos(-0.49332922) × R
    0.000383489999999986 × 0.880761154630661 × 6371000     		du = 2151.88867945103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49299142)-sin(-0.49332922))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880921073199276-0.880761154630661)×R²
    abs(0.37199034-0.37160685)×0.000159918568615192×R²
    0.000383489999999986×0.000159918568615192×6371000²
    0.000383489999999986×0.000159918568615192×40589641000000     		ar = 4631551.3200075m²