Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9160 / 9672
↖ ↑ ↗
← S 30.902225°
E 21.269531°		 ← 2 096.44 m → S 30.902225°
E 21.291504°		 →
↑
2 096.19 m
↓
↑
2 096.19 m
↓
S 30.921076°
E 21.269531°		 ← 2 096.03 m →
4 394 102 m²		 S 30.921076°
E 21.291504°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9672 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559112548828125 y=0.590362548828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559112548828125 × 214)
    floor (0.559112548828125 × 16384)
    floor (9160.5)     		tx = 9160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590362548828125 × 214)
    floor (0.590362548828125 × 16384)
    floor (9672.5)     		ty = 9672
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9160 / 9672 ti = "14/9160/9672"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9160/9672.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9160 ÷ 214
    9160 ÷ 16384     		x = 0.55908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9672 ÷ 214
    9672 ÷ 16384     		y = 0.59033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55908203125 × 2 - 1) × π
    0.1181640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.37122335
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59033203125 × 2 - 1) × π
    -0.1806640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.567572891501465
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37122335} λ = 0.37122335}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.567572891501465))-π/2
    2×atan(0.566899697360751)-π/2
    2×0.51572537975622-π/2
    1.03145075951244-1.57079632675     		φ = -0.53934557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37122335} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.269531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53934557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.902225°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9160 KachelY 9672 0.37122335 -0.53934557 21.269531 -30.902225
    Oben rechts KachelX + 1 9161 KachelY 9672 0.37160685 -0.53934557 21.291504 -30.902225
    Unten links KachelX 9160 KachelY + 1 9673 0.37122335 -0.53967459 21.269531 -30.921076
    Unten rechts KachelX + 1 9161 KachelY + 1 9673 0.37160685 -0.53967459 21.291504 -30.921076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53934557--0.53967459) × R
    0.000329019999999902 × 6371000     		dl = 2096.18641999938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53934557--0.53967459) × R
    0.000329019999999902 × 6371000     		dr = 2096.18641999938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37122335-0.37160685) × cos(-0.53934557) × R
    0.000383499999999981 × 0.858044963687684 × 6371000     		do = 2096.4428118113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37122335-0.37160685) × cos(-0.53967459) × R
    0.000383499999999981 × 0.857875940941814 × 6371000     		du = 2096.0298421703m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53934557)-sin(-0.53967459))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.858044963687684-0.857875940941814)×R²
    abs(0.37160685-0.37122335)×0.000169022745869829×R²
    0.000383499999999981×0.000169022745869829×6371000²
    0.000383499999999981×0.000169022745869829×40589641000000     		ar = 4394102.1613885m²