Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 916 / 484
↖ ↑ ↗
← N 68.399180°
W 18.984375°		 ← 7 195.61 m → N 68.399180°
W 18.808594°		 →
↑
7 205.92 m
↓
↑
7 205.92 m
↓
N 68.334376°
W 18.984375°		 ← 7 216.16 m →
51 925 053 m²		 N 68.334376°
W 18.808594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 916 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 484 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447509765625 y=0.236572265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447509765625 × 211)
    floor (0.447509765625 × 2048)
    floor (916.5)     		tx = 916
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.236572265625 × 211)
    floor (0.236572265625 × 2048)
    floor (484.5)     		ty = 484
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 916 / 484 ti = "11/916/484"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/916/484.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 916 ÷ 211
    916 ÷ 2048     		x = 0.447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 484 ÷ 211
    484 ÷ 2048     		y = 0.236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447265625 × 2 - 1) × π
    -0.10546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33133985
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.236328125 × 2 - 1) × π
    0.52734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.65669925086914
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33133985} λ = -0.33133985}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65669925086914))-π/2
    2×atan(5.2419797972028)-π/2
    2×1.38229361209996-π/2
    2.76458722419992-1.57079632675     		φ = 1.19379090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33133985} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.984375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19379090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.399180°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 916 KachelY 484 -0.33133985 1.19379090 -18.984375 68.399180
    Oben rechts KachelX + 1 917 KachelY 484 -0.32827189 1.19379090 -18.808594 68.399180
    Unten links KachelX 916 KachelY + 1 485 -0.33133985 1.19265985 -18.984375 68.334376
    Unten rechts KachelX + 1 917 KachelY + 1 485 -0.32827189 1.19265985 -18.808594 68.334376
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19379090-1.19265985) × R
    0.00113104999999991 × 6371000     		dl = 7205.91954999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19379090-1.19265985) × R
    0.00113104999999991 × 6371000     		dr = 7205.91954999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33133985--0.32827189) × cos(1.19379090) × R
    0.00306795999999998 × 0.368137856227506 × 6371000     		do = 7195.61265700273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33133985--0.32827189) × cos(1.19265985) × R
    0.00306795999999998 × 0.369189238265422 × 6371000     		du = 7216.16294209674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19379090)-sin(1.19265985))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368137856227506-0.369189238265422)×R²
    abs(-0.32827189--0.33133985)×0.00105138203791599×R²
    0.00306795999999998×0.00105138203791599×6371000²
    0.00306795999999998×0.00105138203791599×40589641000000     		ar = 51925053.3054143m²