Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9158 / 9531
↖ ↑ ↗
← S 28.207608°
E 21.225586°		 ← 2 153.12 m → S 28.207608°
E 21.247559°		 →
↑
2 152.89 m
↓
↑
2 152.89 m
↓
S 28.226970°
E 21.225586°		 ← 2 152.73 m →
4 634 999 m²		 S 28.226970°
E 21.247559°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9158 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9531 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558990478515625 y=0.581756591796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558990478515625 × 214)
    floor (0.558990478515625 × 16384)
    floor (9158.5)     		tx = 9158
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581756591796875 × 214)
    floor (0.581756591796875 × 16384)
    floor (9531.5)     		ty = 9531
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9158 / 9531 ti = "14/9158/9531"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9158/9531.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9158 ÷ 214
    9158 ÷ 16384     		x = 0.5589599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9531 ÷ 214
    9531 ÷ 16384     		y = 0.58172607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5589599609375 × 2 - 1) × π
    0.117919921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.37045636
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58172607421875 × 2 - 1) × π
    -0.1634521484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.513500068730042
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37045636} λ = 0.37045636}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.513500068730042))-π/2
    2×atan(0.598397476906669)-π/2
    2×0.539240341352757-π/2
    1.07848068270551-1.57079632675     		φ = -0.49231564
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37045636} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.225586°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49231564 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.207608°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9158 KachelY 9531 0.37045636 -0.49231564 21.225586 -28.207608
    Oben rechts KachelX + 1 9159 KachelY 9531 0.37083986 -0.49231564 21.247559 -28.207608
    Unten links KachelX 9158 KachelY + 1 9532 0.37045636 -0.49265356 21.225586 -28.226970
    Unten rechts KachelX + 1 9159 KachelY + 1 9532 0.37083986 -0.49265356 21.247559 -28.226970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49231564--0.49265356) × R
    0.000337919999999992 × 6371000     		dl = 2152.88831999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49231564--0.49265356) × R
    0.000337919999999992 × 6371000     		dr = 2152.88831999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37045636-0.37083986) × cos(-0.49231564) × R
    0.000383500000000037 × 0.881240693835844 × 6371000     		do = 2153.11644057441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37045636-0.37083986) × cos(-0.49265356) × R
    0.000383500000000037 × 0.881080919624945 × 6371000     		du = 2152.72606768006m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49231564)-sin(-0.49265356))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881240693835844-0.881080919624945)×R²
    abs(0.37083986-0.37045636)×0.000159774210898633×R²
    0.000383500000000037×0.000159774210898633×6371000²
    0.000383500000000037×0.000159774210898633×40589641000000     		ar = 4634999.06599544m²