Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9157 / 9529
↖ ↑ ↗
← S 28.168875°
E 21.203614°		 ← 2 153.84 m → S 28.168875°
E 21.225586°		 →
↑
2 153.65 m
↓
↑
2 153.65 m
↓
S 28.188244°
E 21.203614°		 ← 2 153.45 m →
4 638 205 m²		 S 28.188244°
E 21.225586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9157 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9529 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558929443359375 y=0.581634521484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558929443359375 × 214)
    floor (0.558929443359375 × 16384)
    floor (9157.5)     		tx = 9157
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581634521484375 × 214)
    floor (0.581634521484375 × 16384)
    floor (9529.5)     		ty = 9529
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9157 / 9529 ti = "14/9157/9529"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9157/9529.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9157 ÷ 214
    9157 ÷ 16384     		x = 0.55889892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9529 ÷ 214
    9529 ÷ 16384     		y = 0.58160400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55889892578125 × 2 - 1) × π
    0.1177978515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.37007287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58160400390625 × 2 - 1) × π
    -0.1632080078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.512733078336121
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37007287} λ = 0.37007287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.512733078336121))-π/2
    2×atan(0.598856618079129)-π/2
    2×0.5395783541662-π/2
    1.0791567083324-1.57079632675     		φ = -0.49163962
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37007287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.203614°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49163962 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.168875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9157 KachelY 9529 0.37007287 -0.49163962 21.203614 -28.168875
    Oben rechts KachelX + 1 9158 KachelY 9529 0.37045636 -0.49163962 21.225586 -28.168875
    Unten links KachelX 9157 KachelY + 1 9530 0.37007287 -0.49197766 21.203614 -28.188244
    Unten rechts KachelX + 1 9158 KachelY + 1 9530 0.37045636 -0.49197766 21.225586 -28.188244
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49163962--0.49197766) × R
    0.000338039999999984 × 6371000     		dl = 2153.6528399999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49163962--0.49197766) × R
    0.000338039999999984 × 6371000     		dr = 2153.6528399999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37007287-0.37045636) × cos(-0.49163962) × R
    0.000383489999999986 × 0.881560025325945 × 6371000     		do = 2153.84049214905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37007287-0.37045636) × cos(-0.49197766) × R
    0.000383489999999986 × 0.88140039576013 × 6371000     		du = 2153.45048283293m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49163962)-sin(-0.49197766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881560025325945-0.88140039576013)×R²
    abs(0.37045636-0.37007287)×0.000159629565815167×R²
    0.000383489999999986×0.000159629565815167×6371000²
    0.000383489999999986×0.000159629565815167×40589641000000     		ar = 4638204.76465615m²