Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9156 / 9540
↖ ↑ ↗
← S 28.381735°
E 21.181641°		 ← 2 149.60 m → S 28.381735°
E 21.203614°		 →
↑
2 149.38 m
↓
↑
2 149.38 m
↓
S 28.401065°
E 21.181641°		 ← 2 149.20 m →
4 619 888 m²		 S 28.401065°
E 21.203614°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9540 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558868408203125 y=0.582305908203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558868408203125 × 214)
    floor (0.558868408203125 × 16384)
    floor (9156.5)     		tx = 9156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582305908203125 × 214)
    floor (0.582305908203125 × 16384)
    floor (9540.5)     		ty = 9540
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9156 / 9540 ti = "14/9156/9540"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9156/9540.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9156 ÷ 214
    9156 ÷ 16384     		x = 0.558837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9540 ÷ 214
    9540 ÷ 16384     		y = 0.582275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558837890625 × 2 - 1) × π
    0.11767578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.36968937
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582275390625 × 2 - 1) × π
    -0.16455078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.516951525502686
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36968937} λ = 0.36968937}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.516951525502686))-π/2
    2×atan(0.596335694006302)-π/2
    2×0.537720801437499-π/2
    1.075441602875-1.57079632675     		φ = -0.49535472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36968937} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.181641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49535472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.381735°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9156 KachelY 9540 0.36968937 -0.49535472 21.181641 -28.381735
    Oben rechts KachelX + 1 9157 KachelY 9540 0.37007287 -0.49535472 21.203614 -28.381735
    Unten links KachelX 9156 KachelY + 1 9541 0.36968937 -0.49569209 21.181641 -28.401065
    Unten rechts KachelX + 1 9157 KachelY + 1 9541 0.37007287 -0.49569209 21.203614 -28.401065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49535472--0.49569209) × R
    0.000337369999999948 × 6371000     		dl = 2149.38426999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49535472--0.49569209) × R
    0.000337369999999948 × 6371000     		dr = 2149.38426999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36968937-0.37007287) × cos(-0.49535472) × R
    0.000383499999999981 × 0.879800151250806 × 6371000     		do = 2149.59679384774m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36968937-0.37007287) × cos(-0.49569209) × R
    0.000383499999999981 × 0.879639734459454 × 6371000     		du = 2149.20485095039m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49535472)-sin(-0.49569209))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879800151250806-0.879639734459454)×R²
    abs(0.37007287-0.36968937)×0.000160416791351592×R²
    0.000383499999999981×0.000160416791351592×6371000²
    0.000383499999999981×0.000160416791351592×40589641000000     		ar = 4619888.36140808m²