Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9156 / 25924
↖ ↑ ↗
← S 71.760191°
W 79.409180°		 ← 382.37 m → S 71.760191°
W 79.398193°		 →
↑
382.32 m
↓
↑
382.32 m
↓
S 71.763630°
W 79.409180°		 ← 382.30 m →
146 175 m²		 S 71.763630°
W 79.398193°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25924 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279434204101562 y=0.791152954101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279434204101562 × 215)
    floor (0.279434204101562 × 32768)
    floor (9156.5)     		tx = 9156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.791152954101562 × 215)
    floor (0.791152954101562 × 32768)
    floor (25924.5)     		ty = 25924
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9156 / 25924 ti = "15/9156/25924"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9156/25924.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9156 ÷ 215
    9156 ÷ 32768     		x = 0.2794189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25924 ÷ 215
    25924 ÷ 32768     		y = 0.7911376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2794189453125 × 2 - 1) × π
    -0.441162109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.38595164
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7911376953125 × 2 - 1) × π
    -0.582275390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.82927208950134
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38595164} λ = -1.38595164}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.82927208950134))-π/2
    2×atan(0.160530377003458)-π/2
    2×0.159172357618637-π/2
    0.318344715237275-1.57079632675     		φ = -1.25245161
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38595164} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.409180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25245161 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.760191°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9156 KachelY 25924 -1.38595164 -1.25245161 -79.409180 -71.760191
    Oben rechts KachelX + 1 9157 KachelY 25924 -1.38575989 -1.25245161 -79.398193 -71.760191
    Unten links KachelX 9156 KachelY + 1 25925 -1.38595164 -1.25251162 -79.409180 -71.763630
    Unten rechts KachelX + 1 9157 KachelY + 1 25925 -1.38575989 -1.25251162 -79.398193 -71.763630
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25245161--1.25251162) × R
    6.00099999998882e-05 × 6371000     		dl = 382.323709999288m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25245161--1.25251162) × R
    6.00099999998882e-05 × 6371000     		dr = 382.323709999288m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38595164--1.38575989) × cos(-1.25245161) × R
    0.000191749999999935 × 0.312994876938216 × 6371000     		do = 382.366826716515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38595164--1.38575989) × cos(-1.25251162) × R
    0.000191749999999935 × 0.312937881588274 × 6371000     		du = 382.297198959959m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25245161)-sin(-1.25251162))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.312994876938216-0.312937881588274)×R²
    abs(-1.38575989--1.38595164)×5.69953499417464e-05×R²
    0.000191749999999935×5.69953499417464e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.69953499417464e-05×40589641000000     		ar = 146174.593643361m²