Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9154 / 9664
↖ ↑ ↗
← S 30.751278°
E 21.137695°		 ← 2 099.69 m → S 30.751278°
E 21.159668°		 →
↑
2 099.50 m
↓
↑
2 099.50 m
↓
S 30.770159°
E 21.137695°		 ← 2 099.27 m →
4 407 858 m²		 S 30.770159°
E 21.159668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9154 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9664 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558746337890625 y=0.589874267578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558746337890625 × 214)
    floor (0.558746337890625 × 16384)
    floor (9154.5)     		tx = 9154
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589874267578125 × 214)
    floor (0.589874267578125 × 16384)
    floor (9664.5)     		ty = 9664
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9154 / 9664 ti = "14/9154/9664"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9154/9664.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9154 ÷ 214
    9154 ÷ 16384     		x = 0.5587158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9664 ÷ 214
    9664 ÷ 16384     		y = 0.58984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5587158203125 × 2 - 1) × π
    0.117431640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.36892238
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58984375 × 2 - 1) × π
    -0.1796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.564504929925781
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36892238} λ = 0.36892238}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.564504929925781))-π/2
    2×atan(0.568641594520013)-π/2
    2×0.517042640208852-π/2
    1.0340852804177-1.57079632675     		φ = -0.53671105
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36892238} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.137695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53671105 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.751278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9154 KachelY 9664 0.36892238 -0.53671105 21.137695 -30.751278
    Oben rechts KachelX + 1 9155 KachelY 9664 0.36930587 -0.53671105 21.159668 -30.751278
    Unten links KachelX 9154 KachelY + 1 9665 0.36892238 -0.53704059 21.137695 -30.770159
    Unten rechts KachelX + 1 9155 KachelY + 1 9665 0.36930587 -0.53704059 21.159668 -30.770159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53671105--0.53704059) × R
    0.000329540000000073 × 6371000     		dl = 2099.49934000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53671105--0.53704059) × R
    0.000329540000000073 × 6371000     		dr = 2099.49934000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36892238-0.36930587) × cos(-0.53671105) × R
    0.000383489999999986 × 0.859395006889381 × 6371000     		do = 2099.68659128421m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36892238-0.36930587) × cos(-0.53704059) × R
    0.000383489999999986 × 0.859226462388219 × 6371000     		du = 2099.2748008662m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53671105)-sin(-0.53704059))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859395006889381-0.859226462388219)×R²
    abs(0.36930587-0.36892238)×0.000168544501162105×R²
    0.000383489999999986×0.000168544501162105×6371000²
    0.000383489999999986×0.000168544501162105×40589641000000     		ar = 4407858.37564373m²