Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9153 / 9665
↖ ↑ ↗
← S 30.770159°
E 21.115722°		 ← 2 099.33 m → S 30.770159°
E 21.137695°		 →
↑
2 099.05 m
↓
↑
2 099.05 m
↓
S 30.789036°
E 21.115722°		 ← 2 098.92 m →
4 406 172 m²		 S 30.789036°
E 21.137695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9665 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558685302734375 y=0.589935302734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558685302734375 × 214)
    floor (0.558685302734375 × 16384)
    floor (9153.5)     		tx = 9153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589935302734375 × 214)
    floor (0.589935302734375 × 16384)
    floor (9665.5)     		ty = 9665
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9153 / 9665 ti = "14/9153/9665"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9153/9665.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9153 ÷ 214
    9153 ÷ 16384     		x = 0.55865478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9665 ÷ 214
    9665 ÷ 16384     		y = 0.58990478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55865478515625 × 2 - 1) × π
    0.1173095703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.36853888
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58990478515625 × 2 - 1) × π
    -0.1798095703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.564888425122742
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36853888} λ = 0.36853888}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.564888425122742))-π/2
    2×atan(0.568423565009029)-π/2
    2×0.516877869437894-π/2
    1.03375573887579-1.57079632675     		φ = -0.53704059
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36853888} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.115722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53704059 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.770159°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9153 KachelY 9665 0.36853888 -0.53704059 21.115722 -30.770159
    Oben rechts KachelX + 1 9154 KachelY 9665 0.36892238 -0.53704059 21.137695 -30.770159
    Unten links KachelX 9153 KachelY + 1 9666 0.36853888 -0.53737006 21.115722 -30.789036
    Unten rechts KachelX + 1 9154 KachelY + 1 9666 0.36892238 -0.53737006 21.137695 -30.789036
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53704059--0.53737006) × R
    0.000329469999999943 × 6371000     		dl = 2099.05336999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53704059--0.53737006) × R
    0.000329469999999943 × 6371000     		dr = 2099.05336999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36853888-0.36892238) × cos(-0.53704059) × R
    0.000383499999999981 × 0.859226462388219 × 6371000     		do = 2099.32954218409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36853888-0.36892238) × cos(-0.53737006) × R
    0.000383499999999981 × 0.859057860409472 × 6371000     		du = 2098.91760059436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53704059)-sin(-0.53737006))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859226462388219-0.859057860409472)×R²
    abs(0.36892238-0.36853888)×0.000168601978746907×R²
    0.000383499999999981×0.000168601978746907×6371000²
    0.000383499999999981×0.000168601978746907×40589641000000     		ar = 4406172.44642902m²